高考数学一轮总复习 专题23 三角形中的三角函数检测 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题23三角形中的三角函数本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.三角形与三角函数的综合3.正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7．三角形的综合【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理高考模拟：一、单选题1．在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图∠PDO和∠PEO，而在等边中，OD＋OE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由OD＋OE为定值可求得最小值.详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足为D，E，则∠PDO＝α，∠PEO＝β，设，，则，又，∴，，， ，∴，当且仅当时取等号，∴，，∴，∴的最小值为.故选C.点睛：过等边的边AB上任一点E作另两边的垂线，垂足分别为M，N，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证.2．在中，，的面积为2，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用．3．已知:锐角的内角的对边分别为,三边满足关系(1)求内角的大小;(2)求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由已知根据余弦定理可得(2) △ABC是锐角三角形，可知，求得，，进而得到的取值范围.详解：（1）由已知得：∴∴(2) △ABC是锐角三角形∴∴∴∴点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题.4．已知函数．（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，， ，，，，中，，中，，，∴．点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．5．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可利用周期的公式，得到函数的最小正周期；（2）由（1）知， 在中，∴∴，∴又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得∴点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6．设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进...