板块命题点专练（六）命题点一简单的三角恒等变换命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1．(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B．C．－D．解析：选Dsin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D．2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin2α＝()A．B．C．－D．－解析：选D因为cos＝，所以sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－．3．(2016·全国丙卷)若tanθ＝－，则cos2θ＝()A．－B．－C．D．解析：选D cos2θ＝＝，又 tanθ＝－，∴cos2θ＝＝．4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝．tan＝tan＝－＝－＝－×＝－．答案：－5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．解析：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，故sinθ＋cosθ＝sin＝－．答案：－6．(2015·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tanA，tan是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥．由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，从而tan(A＋B)＝＝－＝－．所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°或B＝135°(舍去)．于是A＝180°－B－C＝75°．则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋．所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－．命题点二解三角形命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝()A．B．C．2D．3解析：选D由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－解析：选C法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，∴c＝a．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a．∴cosA＝＝＝－．故选C．法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a．在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝＝a．同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a．∴cosA＝＝－．3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B．C．2D．1解析：选B由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°．当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°．由余弦定理可得AC＝＝．4．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．解析：因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝．又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝．答案：5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m．解析：在△ABC中，AC＝100m，在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，解得MA＝100m，在△MNA中，MN＝MA·sin60°＝150m．即山高MN为150m．答案：1506．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c．(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝，所以C＝．(2)由已知得absinC＝．又C＝，所以ab＝6．由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，...
