第二讲数列的综合应用一、选择题1．(2018·宜昌月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a2018OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2018等于()A．1007B．1009C．2016D．2018解析： A，B，C三点共线，∴a1＋a2018＝1，∴S2018＝＝1009.答案：B2．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝()A．2B．4C．5D.解析：因为＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故选B.答案：B3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为()A．2500B．2600C．2700D．2800解析：当n为奇数时，an＋2－an＝0⇒an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2⇒an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2600.答案：B4．(2018·海淀二模)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．答案：B5．已知数列2015,2016,1，－2015，－2016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项和S2017等于()A．2018B．2015C．1D．0解析：由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1，故数列的前8项依次为2015,2016,1，－2015，－2016，－1,2015,2016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S6＝0. 2017＝6×336＋1，∴S2017＝2015.答案：B6．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.答案：D7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为()A．16B．20C．33D．120解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.答案：C8．已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A．4B．5C．6D．7解析： 关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx2＋2a1x＝0的两个实数根，且d＜0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－)d，可得a5＝－d＞0，a6＝d＜0.∴使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.答案：B9．(2018·湘中名校联考)若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2016B．2017C．4032D．4033解析：因为a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，所以d＜0，a2016＞0，a2017＜0，所以S4032＝＝＞0，S4033＝＝4033a2017＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4032.答案：C10．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1解析：由已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列{an}为等差数列．又f(x)＝sin2x＋1＋cosx，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin4a5＝0，故数列{yn}的前9项和为9.答案：C11．已知数列{an}，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析： |an＋1|＞an，∴或又 数列{an}为递增数列，∴an＋1＞an，∴“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：D12．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是()A．(－8，－7)B．[－8，－7)C．(－8，－7]D．[－8，－7]解析：因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，因为bn＝，又对任意的n∈N*都有bn...
