专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)＝()A．B．－C．－D．答案C解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－.故选C．2．点P从(2,0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A．(－1，)B．(－，－1)C．(－1，－)D．(－，1)答案A解析弧长所对的圆心角为α＝＝，设点Q的坐标为(x，y)，∴x＝2cos＝－1，y＝2sin＝.故选A．3．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x0∈R，sin2＋cos2＝；p2：∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；p3：∀x∈[0，π],＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝.其中是假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4答案A解析p1是假命题， ∀x∈R，sin2＋cos2＝1；p2是真命题，如x0＝y0＝0时成立；p3是真命题， ∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝＝|sinx|＝sinx；p4是假命题，如x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠.故选A．4．(2020·成都高三摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．若向量m＝(a，－cosA)，n＝(cosC，b－c)，且m·n＝0，则角A的大小为()A．B．C．D．答案B解析解法一：由m·n＝0，得acosC－cosA(b－c)＝0，由正弦定理，得sinAcosC－cosA(sinB－sinC)＝0，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinBcosA，所以sin(A＋C)＝sinBcosA，所以sin(π－B)＝sinBcosA，即sinB＝sinBcosA．因为0
0，所以cosA＝，所以A＝，故选B．解法二：由m·n＝0，得acosC－cosA(b－c)＝0，由余弦定理，得a·－bcosA＋c·＝0，即b＝bcosA，所以cosA＝，所以A＝，故选B．5．(2019·福州五校联考二)已知a＝2－，b＝(2log23)－，c＝cos50°cos10°＋cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．b>a>cC．a>b>cD．c>b>a答案C解析因为a＝2－＝＝，b＝(2log23)－＝3－＝＝，所以a>b，排除B，D；c＝1cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝＝＝，所以b>c，所以a>b>C．选C．6．(2019·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin－cos＝()A．B．C．D．答案A解析设直角三角形中较小的直角边长为a，则a2＋(a＋2)2＝102，解得a＝6，所以sinθ＝＝，cosθ＝＝，sin－cos＝cosθ－cosθ＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝×＋×＝.故选A．7．(2019·河南十所名校测试)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的两个极值点为α，β，且|α－β|min＝，则函数f(x)在上的最大值为()A．－B．1C．D．2答案D解析由题意，得f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin，因为x∈，所以2x＋∈，所以f(x)在上的最大值为2.故选D．8．(2019·江西吉安模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝sin的一个单调递增区间为()A．B．C．D．答案A解析 f＝f＝f＝π·cos＝，∴g(x)＝sin＝sin＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，可得g(x)的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可得g(x)的一个单调递增区间为.故选A．9．(2019·山东济南二模)如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大致为()2答案A解析由余弦定理，得当0≤x≤π时，|PB|＝＝＝＝2sin，|PA|＝＝＝2cos，∴|PB|＋|PA|＝2sin＋2cos＝2sin，当π≤x≤2π时，|PB|＝＝＝2sin，|PA|＝＝＝－2cos，∴|PB|＋|PA|＝2sin－2cos＝2sin.故选A．10．(2020·石家庄重点高中高三摸底)设f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足xf′(x)－2f(x)>0，若在△ABC中，角C为钝角，则()A．f(sinA)·sin2B>f(sinB)·sin2AB．f(sinA)·sin2Bf(sinB)·cos2AD．f(cosA)·sin2B0时，F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为cosA>cos＝sin...
