高考数学复习点拨 攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型VIP免费

攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成若干个子区间，不同的子区间有不同的表达式．由于这两类函数表达形式比较特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：一、确定解析式问题例1已知y=f(x)满足1()()afxbfcxx，其中a、b、c都是非零的常数，a≠±b，求函数的解析式．【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、ca、b、c都是已知的常数，不可用待定系数法去求解．本题可用1()()afxbfcxx，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解．【解析】 1()()afxbfcxx，以1x代换x得：11()()afbfxcxx，联立两式消去f(1x)得：22()()()babfxcaxx． 22ab，∴22()()cbfxaxabx．【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成1x以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”．求抽象函数解析式这是常用的方法．例2设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(－x)=－f(x)，当x∈[0，+∞)时，3()(1)fxxx，求f(x)的解析式．【分析】利用f(－x)=－f(x)求（－∞，0）上的表达式即可．【解析】 f(－x)=－f(x)，又当x＜0时，－x＞0，由已知3()(1)fxxx，∴3()(1)fxxx，则3()(1)fxxx（x＜0)，用心爱心专心∴33(1)[0,)()(1)(,0)xxxfxxxx．【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)进行转化．二、求函数值问题例3函数f(x)定义在正整数集上，且满足：f(1)=2002和f（1）+f（2）+……+f（n）=2nf（n），则f(2002)的值为__________．【分析】首先根据所给的条件求出f（n）的表达式，在求值．【解析】由f（1）+f（2）+…+f（n）=2nf（n），得：f（1）+f（2）+…+f（n－1）=2(1)nf（n－1），两式相减得：f（n）=2nf（n）－2(1)nf（n－1）（n≥3），变形得：()1(1)1fnnfnn（n≥3），由2(1)(2)2(2)fff得：3(2)(1)ff，又f(1)=2002，于是有1(2)20023f，∴22002()(1)fnnn，故f(2002)=22003．【点评】由f（n）=2nf（n）－2(1)nf（n－1）（n≥3）推出f（n）的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f(2002)．例4已知函数1(0)()2(0xxfxxx2)，若f(x)=10，求x=_________．【分析】首先确定用那一部分的函数表达式求解x，从f(x)=10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f(x)=－2x（x＞0）．【解析】由于f(x)=10＞0，而当f(x)=－2x（x＞0）时，f(x)＜0，于是应用用心爱心专心2()1(0)fxxx，令21x=10，x=±3，由于x＜0，故x=－3．三、定义域与值域问题例5已知函数y=f(2x+1)的定义域是[0，1]，求y=f(x)的定义域．【分析】函数y=f(2x+1)的定义域是[0，1]，是指解析式中x的取值范围，2x+1不是自变量，而是中间变量，f(2x+1)中的中间变量相当于f(x)中的x，所以此题是已知x∈[0，1]，求2x+1的取值范围．【解析】 函数y=f(2x+1)的定义域是[0，1]，∴0≤x≤1，∴1≤2x≤3，∴函数y=f(x)的定义域是[1，3]．【点评】若已知函数y=f(x)的定义域为[a，b]，求y=f(g(x))的定义域，只需将g(x)代换为x，解不等式a≤g(x)≤b，，求出x的集合即为y=f(g(x))的定义域若已知y=f(g(x))的定义域为[a，b]，求函数y=f(x)的定义域，只要求出y=g(x)，x∈[a，b]，的值域即为y=f(x)的定义域．例6已知函数2(11)()2(11)xxfxxx或，求其定义域和值域．【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；求分段函数的值域需要分段求出值域，在取并集．【解析】，由于[－1，1]∪(1，+∞)∪(－∞，－1）=R，可知，定义域为R．当x∈[－1，1]时，2()fxx，f(x)∈[0，1]；而当x∈（1，+∞）∪（－∞，－1）时，f（x）=2，因此函数2(11)()2(11)xxfxxx或的值域为：[0，1]∪{2}．四、函数性质问题1、单调性例7已知函数y=f(x)的定义域为R，对...