第七节离散型随机变量及其分布列[考情展望]1.以实际问题为背景，结合常见的概率事件考查离散型随机变量的分布列求法.2.一般与排列、组合、统计相结合综合考查.3.多以解答题中考查，难度多属中档．一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．2．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)∑pi＝1.三、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．2．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布.X01…mP…运用两个分布列的关键随机变量X服从两点分布，常与事件成败问题有关，随机变量X服从超几何分布多与产品抽检问题有关．1．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点【解析】甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.【答案】D2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B.C.D.【解析】由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.【答案】C3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于()A.B.C.D.【解析】P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.【答案】A4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是()A.B.C.D.【解析】如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.【答案】C考向一[189]离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m设η＝|x－1|，则P(η＝1)＝________.【思路点拨】先根据概率的性质求m的值，再根据X的值，确定η＝|X－1|的值．【尝试解答】由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3.规律方法11.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.2.若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率求解.对点训练随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中，a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.【解析】由题意知则2b＝1－b，则b＝，a＋c＝，所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.【答案】考向二[190]离散型随机变量的分布列(2013·浙江高考改编)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．若从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列．【思路点拨】对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列．【尝试解答】由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456P规律方法21.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．2．求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．对点训练某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，...
