排列组合中的分组问题孙丽敏在解排列组合的有关应用题时，经常会遇到将所给元素或对象进行分组的问题，这类问题主要涉及平均与不平均、有序与无序等问题，很多同学在解答时常常出现这样或那样的错误，本文就此加以剖析说明，希望能引起大家的重视。一、不平均分组问题1.分组后无序例1不同的6本书，分成3堆，使得一堆3本，一堆2本，一堆1本，问有多少种方法。本题属于不平均分组问题，令3本的为甲堆，2本的为乙堆，1本的为丙堆，我们只需将它们分开即可，故属于无序问题。解：（种）。点评：由于是不同的书，故分组后并无序，所以切忌再乘以。2.分组后有序例2不同的6本书，分给甲、乙、丙3个人，使得一人得3本，一人得2本，一人得1本，问共有多少种不同的分法。由于题设并没有指定哪个人得3本书，因此甲、乙、丙3人都有得到3本书的可能，于是问题可转化为先将6本不同的书分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；然后再将3堆书分给甲、乙、丙3人。解：（种）。点评：此问题与上例的区别在于分组后有序。二、平均分组问题。1.分组后有序。例3将不同的6本书分给甲、乙、丙3个人，每人2本，问有多少种不同的分法。此类问题属于平均分组后的有序问题，由于是不同的6本书，不妨把6本书编号为1，2，3，4，5，6，不失一般性，设甲分得标号为1，2的两本，乙分得标号为3，4的两本，丙分得标号为5，6的两本，这与甲分得标号为3，4的两本，乙分得标号为1，2的两本，丙分仍得标号为5，6的两本书相比，应是两种不同的分法。解：（种）。点评：这里切忌再进行排列而乘以，否则便会出现重复计算。2.分组后无序例4将6本不同的书分成3堆，每堆2本，问有多少种不同的分法。由于只需将6本书分成3堆即可，所以属于平均分组中的无序问题，如例3我们将这6本书编号为1，2，3，4，5，6，设甲堆分得标号为1，2的两本，乙堆分得标号为3，4的两本，丙堆分得标号为5，6的两本，这与甲堆分得标号为3，4的两本，乙堆分得标号为1，2的两本，丙堆分为仍得标号为5，6的两本书，应是同一种分法，为此应将例3中的分法消去顺序即可。解：（种）点评：由于是将6本书平均分组后再分给3个人，故其本身已经存在顺序，用心爱心专心115号编辑因此平均分组时一定要消序而应除以。三、混合分组问题例5将6本不同的书分给甲、乙、丙3个人，使得1人得4本，另外2个人各得1本，问有多少种不同的分法。本例属于混合分组问题，而且分组后有序，此类问题我们可以先分组再分配，即先将6本书分成3堆，一堆4本，一堆1本，一堆1本，由于在分组中存在部分平均分组问题，所以需要注意消序。解：第一步：将6本不同的的书分成3组，故有种。第二步：分给3个人，由于甲、乙、丙3个人都有可能得到4本书，故有种。根据分步计数原理知，不同的分书方法有（种）。评析：对于平均分组或混合分组问题，如果是分组后无序，要注意在分组过程中的“消序”，即除以平均分组的组数的阶乘。用心爱心专心115号编辑
