解答题专项训练三1.[2017·常德模拟]已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由已知条件可得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝2n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，∴an＝4n－3.(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，当n为偶数时，Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n，当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.综上，Tn＝2．[2017·太原模拟]已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn，a＝S3，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记Tn＝a1＋a5＋a9＋…＋a4n－3，求Tn.解(1)设数列{an}的公差为d，由a＝S3，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d.故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，解得d＝0，不符合题意．若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝2或d＝0(不符合题意，舍去)．因此数列{an}的通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.(2)由(1)知a4n－3＝8n－7，故数列{a4n－3}是首项为1，公差为8的等差数列．从而Tn＝(a1＋a4n－3)＝(8n－6)＝4n2－3n.3．[2017·海口调研]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.解(1)因为2Sn＝(n＋1)an，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，所以当n≥2时，＝，＝.因为a1＝2，所以an＝2n.(2)证明：因为an＝2n，令bn＝，n∈N*，所以bn＝＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－.因为>0，所以1－<1.因为f(n)＝在N*上是递减函数，所以1－在N*上是递增的，当n＝1时，Tn取最小值，所以≤Tn<1.4．[2017·乌鲁木齐模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝2an＋n－3成立．(1)求证：数列{an－1}为等比数列；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解(1)证明：当n＝1时，S1＝2a1＋1－3，得a1＝2，由Sn＝2an＋n－3，得Sn＋1＝2an＋1＋n＋1－3，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an＋1，即an＋1＝2an－1，＝＝2，而a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)得an－1＝1·2n－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1，nan＝n(2n－1＋1)＝n·2n－1＋n，∴Tn＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n·2n－1＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋.令Vn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，则2Vn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，两式相减得－Vn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Vn＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1，∴Tn＝(n－1)2n＋＋1.5．[2017·辽宁模拟]设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)令bn＝，设数列的前n项和为Sn，求证Sn<.解(1)f(x)＝＋sinx，令f′(x)＝＋cosx＝0，得x＝2kπ±(k∈Z)．由f′(x)>0⇒2kπ－0，故有－20n2＋400n－720>0，解得2
