第十三节导数在研究函数中的应用(二)题号1234567答案1.f(x)＝x3－3x2＋2在区间上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或2(舍去)，当－1≤0时，f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为()解析：令g(x)＝x－ln(x＋1)，则g′(x)＝1－＝，由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1，0)上单调递减，所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，于是对任意的x∈(－1，0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，因函数g(x)在(－1，0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排除C，故选A.答案：A3．把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为()A．20，80B．40，60C．50，50D．30，70解析：设一段长为x，则另一段长为100－x，∴S＝＋＝[x2＋(100－x)2]＝(2x2－200x＋10000)．令S′＝0，得(4x－200)＝0，∴x＝50.答案：C4．(2013·淄博一检)已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．3解析：设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)＜0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案：A5．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)在[－2，1]上的最小值为()A．－1B．0C．2D．3解析：易知f(x)为二次函数，且常数项为0，设f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b.由图得导函数的表达式为f′(x)＝2x＋2，所以f(x)＝x2＋2x.当x＝－1时，f(x)在[－2，1]上有最小值－1.故选A.答案：A6．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)＜f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案：A7．(2013·辽宁营口二模)若函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－2，2]D．(－2，2)解析：由函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则函数f(x)有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0.由f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，所以函数f(x)的两个极值点为x1＝1，x2＝－1.由于x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；x∈(－1，1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时f′(x)＞0，所以函数的极小值f(1)＝m－2和极大值f(－1)＝m＋2.在(－∞，－1)时，f(x)是从－∞开始递增的，x∈(1，＋∞)时，f(x)是递增向＋∞的，所以能保证有三个零点．因为函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，所以解之得－2＜m＜2.故选D.答案：D8．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是____________．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－＝≤0及x>0知，0
