专题跟踪训练(十八)一、选择题1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1[解析]依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1，故选C.[答案]C2．(2015·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)[解析]因为抛物线的准线方程为x＝－＝－1，∴＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B.[答案]B3．(2015·河北石家庄一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为()A.B.C．1＋D．1＋[解析]由题意可知，∴2ac＝b2＝c2－a2，∴e＝1＋，故选C.[答案]C4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.[解析]设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2，F2B1所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2
0，即e2＋e－1>0，e>或e<，又00)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1b时，e1e2C．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2.[答案]B二、填空题7．(2015·厦门质检)已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．[解析]设点P的坐标为(xp，yp)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xp＝1，∴y＝4，∴|yp|＝2.[答案]28．(2015·西安质检)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．[解析]不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2， ∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为(－1,1)， 点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为.[答案]9．(2015·山东卷)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．[解析]设直线方程为y＝(x－c)，由得x＝，由＝2a，e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．[答案]2＋三、解答题10．(2015·兰州质检)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．[解](1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为1，.11．(2015·陕西卷)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.[解](1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k...
