第七章第7节立体几何中的向量方法第一课时[基础训练组]1．(导学号14577704)若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A．l∥α或l⊂αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：A[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.]2．(导学号14577705)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：C[ n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．]3．(导学号14577706)设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2解析：C[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.]4．(导学号14577707)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直解析：C[建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，NO＝(－1,0，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．]5．(导学号14577708)已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15解析：B[ AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.1BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，又BC＝(3,1,4)，则解得]6．(导学号14577709)已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.解析：由α⊥β知a·b＝0，即x＋1×(－2)＋2×3＝0，解得x＝－4.答案：－47．(导学号14577710)在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________.解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．答案：(0，，)8．(导学号14577711)(2018·武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.答案：α∥β9．(导学号14577712)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°， PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2，3,0)，CM＝.(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，2由即令y＝2，得n＝(－，2,1)．∴n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥CM.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，BE＝(－，2,1)． PB＝AB，∴BE⊥PA.又 BE·DA＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴BE⊥DA，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.10．(导学号14577713)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．所以BD1＝BE＋BF.故BD1，BE，BF共面．又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面．(2)设M(0,0，z0)，G，则GM＝，而BF＝(0,3,2)，由题设得GM·BF＝－×3＋z0·2＝0，得z0＝1.故M(0,0,1)，有ME＝(3,0,0)．3又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B.故ME⊥平面BC...
