§3.4简单的三角恒等变换Ａ组基础题组4.(2015浙江嘉兴桐乡一中调研(二),11)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期是.5.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.6.(2015丽水一模,13,4分)设α,β∈(0,π),sin(α+β)=,tan=,则cosβ的值是.7.(2016山东师范大学附属中学第三次模考,13,5分)设α,β∈,且tanα=,则2α-β=.8.(2016宁波效实中学期中,12,6分)若sinα+2cosα=-(0<α<π),则tanα=;cos=.9.(2016宁波效实中学期中文,13,4分)=.10.求证:=sin2α.11.(2015合肥第一次质检)已知cos·cos=-,α∈,求:(1)sin2α;(2)tanα-.B组提升题组1.(2015温州一模,3,5分)已知sinx+cosx=,则cos=()A.-B.C.-D.2.(2015西宁三校联考)已知sin=-,α是第二象限角,则tan=()A.B.C.D.3.(2015嘉兴教学测试二,5,5分)若sinθ+cosθ=,θ∈[0,π],则tanθ=()A.-B.C.-2D.24.(2015烟台诊断)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为()A.-B.C.-D.5.(2014山东,12,5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.6.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.7.(2015浙江六校联考)函数f(x)=sinx+cosx的单调增区间为,已知sinα=,且α∈,则f=.8.(2016超级中学原创预测卷九,14,6分)已知α∈,β∈,若tan(α+β)=2tanβ,则当α取最大值时,tanβ=,tan2α=.9.(2016江苏盐城中学月考,11,5分)若α∈,且tan=2cos2α,则α的值为.10.化简:.11.(2013广东,16,12分)已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求f的值;(2)若cosθ=,θ∈,求f.Ａ组基础题组1.Ccos2====,故选C.2.A由cos2α=cos得,cos2α-sin2α=cosα+sinα,而α为锐角,∴cosα+sinα≠0,∴cosα-sinα=,两边平方得,1-sin2α=,∴sin2α=.故选A.3.C原式=====.4.答案π解析f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin,所以最小正周期T==π.5.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(15°+45°)=sin60°=.6.答案-解析由tan=,得tanα==,又α∈(0,π),所以α∈,所以sinα=,cosα=,又β∈(0,π),所以α+β∈,而sin(α+β)=<,所以α+β∈,因此cos(α+β)=-,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-.7.答案解析tanα==,化简得sin(α-β)=cosα,又α,β∈,所以sin(α-β)=cosα=sin,因此α-β=-α,所以2α-β=.8.答案-;解析由sinα+2cosα=-(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sinα=,cosα=-,所以tanα=-.sin2α=2sinαcosα=-,cos2α=cos2α-sin2α=-,所以cos=cos2αcos-sin2αsin=.9.答案解析===.10.证明证法一:左边=====sincoscosα=sinαcosα=sin2α=右边,∴原式成立.证法二:左边===sinαcosα=sin2α=右边,∴原式成立.证法三:左边==cos2α·=cos2α·tanα=cosαsinα=sin2α=右边,∴原式成立.11.解析(1)cos·cos=cos·sin=sin=-,(2分)即sin=-,∵α∈,∴2α+∈,∴cos=-,(5分)∴sin2α=sin=sincos-cossin=.(7分)(2)∵α∈,∴2α∈,又sin2α=,∴cos2α=-.∴tanα-=-===-2×=2.(12分)B组提升题组1.Bsinx+cosx=2cos=,故cos=.2.A因为sin=cosα=-,α是第二象限角,所以tanα=-,所以tan==,故选A.3.C因为sinθ+cosθ=sin=,所以sin=.因为θ∈[0,π],所以≤θ+≤.又<,所以<θ+<π,所以cos=-,所以tan===-,解得tanθ=-2,故选C.4.C因为tan[2(α-β)]===,所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]===1,因为β∈(0,π),tanβ=-,所以β∈,又tanα=tan[(α-β)+β]===>0,α∈(0,π),所以α∈,所以α-β∈(-π,0),因为tan(α-β)=>0,所以α-β∈,所以2α-β∈(-π,0),所以2α-β=-,故选C.5.答案π解析y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x+=sin+,所以该函数的最小正周期为π.6.答案-解析由辅助角公式得:f(x)==sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,由x=θ时,f(x)取得最大值得sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+,k∈Z,即θ=φ++2kπ,k∈Z,∴cosθ=cos=-sinφ=-.7.答案,k∈Z;解析f(x)=sinx+cosx=sin,当2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z时,函数f(x)单调递增,所以f(x)的递增区间是,k∈Z.因为sinα=,α∈,所以cosα=,所以f=sin=sin=sinα+cosα=×+×=.8.答案;解析解法一:由tan(α+β)=2tanβ,可得2tanβ=,从而tanα==≤,当且仅当tanβ=时取等号.又α∈,所以当tanα=时,α取最大值,此时tan2α==.解法二:由tan(α+β)=2tanβ,可得tanα=tan[(α+β)-β]===≤,当且仅当tanβ=时取等号.又α∈,所以当tanα=时,α取最大值,此时tan2α==.9.答案解析cos2α=sin=sin=2sincos=2cos2tan=tan,所以cos2=,又α∈,所以cos=,所以α+=,所以α=.10.解析原式=========2.11.解析(1)f=cos--=cos=cos=1.(2)f=cos=cos=cos2θ-sin2θ.因为cosθ=,θ∈,所以sinθ=-,所以sin2θ=2sinθcosθ=-,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-,所以f=cos2θ-sin2θ=--=.
