课时作业10函数与方程一、选择题1．(2015·东北三校联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c解析：在同一平面直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－，y＝－x的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.答案：A2．(2014·山东青岛一模)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.答案：B3．(2015·河北唐山期末)f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解析： 2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1.令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数转化为求两个函数图象的交点个数．h(x)＝2sinπx的周期T＝＝2，分别画出两个函数的图象，如图所示，1 h(1)＝g(1)，h＞g，g(4)＝3＞2，g(－2)＝－3＜－2，可知两个函数图象的交点一共5个，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.答案：B4．(2014·山东威海一模)已知a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则mn的最大值为()A．8B．4C．2D．1解析：由f(x)＝ax＋x－4＝0，得ax＝4－x，函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，即y＝ax，y＝4－x的图象相交于点(m,4－m)；由g(x)＝logax＋x－4＝0，得logax＝4－x，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，即y＝logax，y＝4－x的图象相交于点(n,4－n)．因为y＝ax，y＝logax互为反函数，则(m,4－m)与(n,4－n)关于直线y＝x对称，所以m＝4－n，即m＋n＝4，且m＞0，n＞0.由mn≤2＝4，当且仅当m＝n＝2时“＝”成立，所以mn的最大值为4.故选B.答案：B5．(2014·山东德州二模)若函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]上，g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是()A．0＜m≤B．0＜m＜C.＜m≤1D.＜m＜1解析：g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，即曲线y＝f(x)，y＝mx＋2m有两个交点．令x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以f(x＋1)＝＝x＋1，f(x)＝－1.在同一平面直角坐标系中，画出y＝f(x)，y＝mx＋2m的图象(如图所示)，2直线y＝mx＋2m过定点(－2,0)，所以m满足0＜m≤，即0＜m≤，故选A.答案：A6．(2014·河北石家庄调研)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数)()A.B.C.D.解析：因为方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，所以y＝f(x)与y＝ax有2个交点．因为a表示直线y＝ax的斜率，当x＞1时，y′＝f′(x)＝，设切点坐标为(x0，y0)，k＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，而切线过原点，所以y0＝1，x0＝e，k＝.所以直线l1的斜率为，直线l2与y＝x＋1平行．所以直线l2的斜率为，所以实数a的取值范围是.答案：B二、填空题7．(2014·上海长宁质检)设a为非零实数，偶函数f(x)＝x2＋a|x－m|＋1(x∈R)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a的取值范围是__________．解析：由函数f(x)为偶函数可得m＝0，即f(x)＝x2＋a|x|＋1，f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点，由零点存在定理可得f(2)·f(3)＜0，从而(5＋2a)(10＋3a)＜0，解得－＜a＜－.答案：8．(2015·皖北协作区联考)已知函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是__________．解析：g(x)＝f(x)－m有两个零点，等价于函数f(x)与函数y＝m的图象有两个交点，作出函数的图象如下：3由图可知m的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]9．(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是__________．解析：作出函数f(x)＝|x2－2x＋|，x∈[0,3)的图象(如图)，f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大值＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y＝f(x)的图象和直线y＝a在[－3,4]上有10个交点．由于函数f(x)的周期为3，则直线y＝a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点，因此有a∈.答案：三、解答题...
