课时作业10函数与方程一、选择题1.(2015·东北三校联考)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x-的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:在同一平面直角坐标系下分别画出函数y=2x,y=log3x,y=-,y=-x的图象,如图,观察它们与y=-x的交点可知a<b<c.答案:A2.(2014·山东青岛一模)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,2)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析:由指数函数、幂函数的性质可知,f(x)=2x+x3-2在区间(0,2)内单调递增,且f(0)=-1<0,f(2)=10>0,所以f(0)·f(2)<0,即函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,2)内有唯一一个零点,故选B.答案:B3.(2015·河北唐山期末)f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为()A.4B.5C.6D.7解析: 2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1.令h(x)=2sinπx,g(x)=x-1,f(x)=2sinπx-x+1的零点个数转化为求两个函数图象的交点个数.h(x)=2sinπx的周期T==2,分别画出两个函数的图象,如图所示,1 h(1)=g(1),h>g,g(4)=3>2,g(-2)=-3<-2,可知两个函数图象的交点一共5个,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.答案:B4.(2014·山东威海一模)已知a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则mn的最大值为()A.8B.4C.2D.1解析:由f(x)=ax+x-4=0,得ax=4-x,函数f(x)=ax+x-4的零点为m,即y=ax,y=4-x的图象相交于点(m,4-m);由g(x)=logax+x-4=0,得logax=4-x,函数g(x)=logax+x-4的零点为n,即y=logax,y=4-x的图象相交于点(n,4-n).因为y=ax,y=logax互为反函数,则(m,4-m)与(n,4-n)关于直线y=x对称,所以m=4-n,即m+n=4,且m>0,n>0.由mn≤2=4,当且仅当m=n=2时“=”成立,所以mn的最大值为4.故选B.答案:B5.(2014·山东德州二模)若函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]上,g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,则实数m的取值范围是()A.0<m≤B.0<m<C.<m≤1D.<m<1解析:g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,即曲线y=f(x),y=mx+2m有两个交点.令x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以f(x+1)==x+1,f(x)=-1.在同一平面直角坐标系中,画出y=f(x),y=mx+2m的图象(如图所示),2直线y=mx+2m过定点(-2,0),所以m满足0<m≤,即0<m≤,故选A.答案:A6.(2014·河北石家庄调研)已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.B.C.D.解析:因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax有2个交点.因为a表示直线y=ax的斜率,当x>1时,y′=f′(x)=,设切点坐标为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=.所以直线l1的斜率为,直线l2与y=x+1平行.所以直线l2的斜率为,所以实数a的取值范围是.答案:B二、填空题7.(2014·上海长宁质检)设a为非零实数,偶函数f(x)=x2+a|x-m|+1(x∈R)在区间(2,3)上存在唯一零点,则实数a的取值范围是__________.解析:由函数f(x)为偶函数可得m=0,即f(x)=x2+a|x|+1,f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点,由零点存在定理可得f(2)·f(3)<0,从而(5+2a)(10+3a)<0,解得-<a<-.答案:8.(2015·皖北协作区联考)已知函数f(x)=若关于x的函数g(x)=f(x)-m有两个零点,则实数m的取值范围是__________.解析:g(x)=f(x)-m有两个零点,等价于函数f(x)与函数y=m的图象有两个交点,作出函数的图象如下:3由图可知m的取值范围是(1,2].答案:(1,2]9.(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+|.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是__________.解析:作出函数f(x)=|x2-2x+|,x∈[0,3)的图象(如图),f(0)=,当x=1时,f(x)极大值=,f(3)=,方程f(x)-a=0在[-3,4]上有10个根,即函数y=f(x)的图象和直线y=a在[-3,4]上有10个交点.由于函数f(x)的周期为3,则直线y=a与f(x)的图象在[0,3)上应有4个交点,因此有a∈.答案:三、解答题...