第二节等差数列时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是()A.B．4C．－4D．－3解析 {an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.答案B2．(2014·安徽“江南十校”联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6＋a7，则S9的值是()A．27B．36C．45D．54解析由2a6＝6＋a7得a5＝6，所以S9＝9a5＝54，选D.答案D3．(2015·湖北月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S5－13a4＋5a8＝10，则下列数中恒为常数的是()A．a8B．S9C．a17D．S17解析由2S5－13a4＋5a8＝10可得a1＋8d＝5，而S17＝＝17(a1＋8d)＝85.故选D.答案D4．(2014·安徽六校联考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11解析设{bn}的公差为d， b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2. b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋·d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.答案B5．在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于()A．2B．3C．4D．2或3解析 a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0， d<0，∴{an}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故Sn取最大值时n等于2或3，选D.答案D6．等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d<0，S2013＝2013B．d>0，S2013＝2013C．d<0，S2013＝－2013D．d>0，S2013＝－2013解析通过求导易知a8＋1>0，a2006＋1<0.∴d<0.(a8＋1)3＋(a2006＋1)3＋2013(a8＋a2006＋2)＝0，可求出a8＋a2006＝－2，得出S2013＝－2013.答案C二、填空题7．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析利用等差数列的性质可求解， a3＋a8＝10，∴3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.故填20.答案208．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.解析a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋＝21d，而ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，所以(k－1)d＝21d，d≠0，故k＝22.答案229．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值为________．解析 a1＋a2＋…＋a10＝30，即＝30，a1＋a10＝6，∴a5＋a6＝6，∴a5·a6≤2＝9.答案9三、解答题10．(2014·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．解(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．11．(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4.故a4≥0，a5≤0.于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为()A．5B．4C．3D．2解析由Sn＝－n2＋3n，可得an＝4－2n，因此an＋1·an＋2＝[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，即n(n－1)＝20，解得n＝－4(舍去)或n＝5.答案A2．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析本题考查等差数列，递增数列．对于p1，数列{an}的公差d>0，∴数列是递增数列；对于p4， (an＋1＋3(n＋1)d)－(an＋3nd)＝4d>0，是递增数列；对于p2， (n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)an＋(n＋1)d－nan＝a1＋2nd，不能...
