第二章函数、导数及其应用2.10导数的概念及运算练习理[A组·基础达标练]1．[2015·赣州高三期末]已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.D．2答案C解析依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.2．[2015·洛阳二练]曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝()A．1B．－1C．7D．－7答案C解析f′(x)＝＝，又 f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.3．[2016·云南师大附中月考]曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0，则a＝()A.B．2C．ln2D．ln答案A解析由题知，y′＝axlna，y′＝lna，切线斜率为－ln2＝lna，∴a＝，故选A.4．[2016·辽宁五校联考]已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A．4B．5C.D.答案C解析 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.5．[2015·郑州二检]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．4答案B解析由图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.6．[2015·平顶山模拟]点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.1C.D.答案D解析将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx(x>0)，则y′＝2x－.令y′＝1，则x＝1或x＝－(舍)，可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为x－y＝0.则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线x－y＝0与y＝x－2的两平行线间的距离，d＝＝.7．[2016·昆明一中调研]若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2答案C解析依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，故b＝0，又有m＝f(0)＝g(0)，则m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.8．[2016·大同质检]已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.B.C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，需满足Δ≥0，解得－≤a<0.综上，a≥－.9．[2015·太原一模]函数f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________．答案y＝2ex－e解析 f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.10．设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.答案0解析 f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca，f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴＋＋＝＋＋＝＝0.11．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过，斜率k＝－1，∴切线方程为x＋y－＝0.即3x＋3y－11＝0(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，∴α∈∪.12．设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．解(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.2(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．[B组·能力提...
