第6讲空间向量及其运算[基础题组练]1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示MN，则MN等于()A.(b＋c－a)B.(a＋b＋c)C.(a－b＋c)D.(c－a－b)解析：选D.MN＝MA＋AO＋ON＝(c－a－b)．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3解析：选B.由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B.如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析：选D.因为BD＝BF＋FE＋ED，所以|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，所以|BD|＝.5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B.C．－D．±解析：选C.OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________．解析：因为OC＝AC＝(AB＋AD)，所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.答案：AB＋AD＋AA17.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________．解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以PD＝＝，所以MN＝.答案：8.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，所以OA⊥BC，所以cos〈OA，BC〉＝0.答案：09．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.由图得AG＝AA1＋A1D1＋D1G＝c＋b＋DC＝a＋b＋c＝AB＋AD＋AA1.(2)证明：由题图，得AC＝AB＋BC＝a＋b，EG＝ED1＋D1G＝b＋a＝AC，因为EG与AC无公共点，所以EG∥AC，因为EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.又因为AB1＝AB＋BB1＝a＋c，FG＝FD1＋D1G＝c＋a＝AB1，因为FG与AB1无公共点，所以FG∥AB1，因为FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，又因为FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB1C.10．已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题．(1)求EF的模长；(2)求EF，GH的夹角．解：(1)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是四面体ABCD中各棱的中点，AB＝a，AC＝b，AD＝c，所以BE＝BC＝(AC－AB)＝(b－a)，AF＝AD＝c；所以EF＝EB＋BA＋AF＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，所以|EF|＝＝＝＝.(2)正四面体ABCD中，EF＝(c－a－b)，|EF|＝；同理，GH＝(b＋c－a)，|GH|＝；所以cos〈EF，GH〉＝＝＝[(c－a)2－b2]＝[c2＋a2－2c·a－b2]＝[1＋1－2×1×1×cos60°－1]＝0，所以EF与GH的夹角为90°.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设AP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC，即x＝1－m...
