第四十一讲双曲线班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：由图易知：＝tan60°＝，不妨设c＝，b＝1，则a＝.∴e＝＝＝.故选B.答案：B2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()A．1B．2C．3D．4解析：9y2－m2x2＝1(m>0)⇒a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0， ＝⇒m2＋9＝25，∴m＝4，故选D.答案：D3．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析：设双曲线方程为－＝1，且M为右支上一点，由已知|MF1|－|MF2|＝2a，用心爱心专心1∴＝4a2.又 ∴4c2－4＝4a2，即b2＝1.又 c＝，∴a2＝9.∴双曲线方程为－y2＝1，故选A.答案：A4．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是()A．①②B．①③C．①③④D．①②③④解析：①e＝＝＝＝，双曲线是黄金双曲线．②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝，双曲线是黄金双曲线．③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．④ |MN|＝，由射影定理知|OF2|2＝|MF2|·|F2N|，即c2＝，从而b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．答案：D5．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－8C．14＋8D．8解析：|PF2|＋|PQ|＋|QF2|用心爱心专心2＝|PF2|－|PF1|＋|QF2|－|QF1|＋2·|PQ|＝14＋8.答案：C6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．[1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：依题意，应有≥tan60°，又＝，∴≥，解得e≥2.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝________.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又|F1M|＋|F2M|＝2c，解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，从而|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2.答案：b28．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析： e＝＝＝＝＝1＋， |PF2|>c－a，即e<1＋，∴e2－2e－1<0.又 e>1，∴1
