第7课二次方程根的分布本节讨论的一元二次方程为：（＊）1．根的个数的判断：（1）当判别式时，方程（＊）有两个不相等的实数根（2）当判别式时，方程（＊）有两个相等的实数根（3）当判别式时，方程（＊）没有实数根例1．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．变式1.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是变式2.若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值范围是变式3。若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是2．韦达定理：设方程（＊）的两个实数根为与，则，3．一元二次方程的零分布例2．设有一元二次方程．试问：（1）为何值时，有一正根、一负根；（2）为何值时，有两正根；（3）为何值时，有两负根？1【解析】设的两根为，则（1）∵，即，∴．（2），即，∴，∴．（3），即∴，∴．小结：若方程（＊）的的两根为，则（1）方程（＊）有两正根（2）方程（＊）有两负根（3）方程（＊）有两负根（想一想？）3．二次函数的图象与根的分布3.1直接由图可以列不等式组求解例3．若关于的方程的一个根在内，另一个根在内，求的范围【解析】设，如图所示，∴，∴，解得．∴的范围是．变式：若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，求实数的取值范围【解析】设，如图所示，则，解得2所以，实数的取值范围为3.2结合图象及韦达定理列不等式组求解【例4】方程的两根都大于1，求实数的取值范围．【解析】设，由于方程的两根均大于1，因此，据二次函数图象应满足:，∴，解得．∴实数的取值范围是．【例5】若关于的方程的两根均在区间内，求的范围．【解析】设，则∴．小结：设是方程的两个实根，则3根的分布图象充要条件根的分布在有且只有一个根图象充要条件＊4.综合问题（选作）例6．设与是关于的方程的两个实数根，求的的最小值OyOOOOOOyOOOO4yOOOOOyOOOOO【解析】由已知，得关于的方程的两个实数根，解得或在上是增函数，在上是减函数，所以最小值为第7课二次方程根的分布作业1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．且C．D．且【答案】B【解析】且，选B2．“”是“一元二次方程有实数解”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】有实数解的充要条件是，解得．3．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C4.方程的一个根比1大，另一个根比小，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则5，选C5.若方程在恰有一个解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，选B6.已知二次函数有两个零点0和－2，且它有最小值－1.(1)求解析式；(2)若与图象关于原点对称，求解析式．（提示：若与图象关于原点对称，则）【解析】(1)设由已知，得，所以，有最小值－1，，即由，得，所以解析式为(2)7.已知，并且求的最小值．【解析】，得对称轴为，抛物线开口向上当即时，在上递减，在上递增，；当即时，在上递增，所以，6
