第56课立体几何中的探究性问题1．探究平行问题【例1】如图，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面.(1)求证：；(2)设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得∥平面.【解析】(1)证明∵平面，∥，∴⊥平面，∵平面，∴.又∵平面，平面，∴，∵，∴平面，又∵平面，∴．(2)当点为线段上靠近点的一个三等分点时，∥平面。证明如下在中，过点作∥交于点．在中，过点作∥交于点，连接.则由比例关系易得.∵∥，平面，平面，∴∥平面.同理，∥平面.∵，∴平面∥平面.而平面，∴∥平面.∴点为线段上靠近点的一个三等分点．2.探究垂直问题【例2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为．（1）求证：平面；（2）已知为侧棱上一个动点.试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，，∴O是，中点．由已知，,，∴,,1SOEDCBA又，∴平面．（2）对于上任意一点，平面平面.证明如下：由（1）知，而，∴.又∵四边形是正方形，∴.∵，∴.又∵，∴平面平面．第56课立体几何中的探究性问题课后作业1.（2013淄博一模）在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面平面,为的中点.(1)求证:；(2)在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：连结，∵四边形是菱形,∴，∵四边形是矩形，∴，∵平面平面，平面平面，平面,∴平面，∵平面，∴,∵,∴平面，∵平面,∴.（2）当为的中点时，有//平面.证明：取的中点，连结，.∵为的中点，是的中点，∴//,且，∵//,且，∴//，且,∴四边形为平行四边形，∴//，∵平面，平面，∴//平面．2PEABCDNMMNDCBAEPS2.（2013朝阳二模）如图，四边形ABCD为正方形，EA平面，//EFAB，=4,=2,=1ABAEEF，（1）求证：BCAF；（2）若点在线段上，且满足,求证：//EM平面FBC；（3）试判断直线与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.证明：（1）∵，∴与确定平面，∵EA平面，平面，∴EABC.∵ABBC，=EAABA，∴BC平面.又平面,∴BCAF.（2）过作，垂足为，连结，则.又,∴.又且,∴，且，∴四边形为平行四边形.∴.又平面,平面,∴平面.（3）直线平面EBC.证明如下：由（1）可知，.在四边形中，,,，，∴，则.设,∵,故,∴,即.又∵，∴平面.3.（2014年高考）已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.【解析】（1），且，3EFDCBAMMABCDFEN，；（2），且，，，且，，.4
