专题23.分类讨论、转化与化归思想一分类讨论思想思想解读应用角度分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终集合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想1.由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等2.由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等4.由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等5.由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等分类讨论的原则：(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论已知a，b>0，且a≠1，b≠1.若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>0【答案】D【解析】根据题意，logab>1⇔logab－logaa>0⇔loga>0⇔或，即或.当时，0
a>1，所以b－1>0，b－a>0.所以(b－1)(b－a)>0，故选D.应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．【对点训练】1．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－B．－C．－D．－【答案】A.【解析】当a≤1时不符合题意，所以a＞1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________．【答案】或2【解析】若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又由题意可知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，解得|PF1|＝4或2，又|PF1|>|PF2|，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.综上知，的值为或2.(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．【对点训练】2．(2019·合肥第一次质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B.【解析】当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，选B.(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)＜g(1)＝0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论...
