高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为()A．51B．52C．53D．54答案A解析因为an＋1＋an＝2n＋1①，所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3②，②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，所以Sn＝当n为偶数时，＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－>1，所以n(n＋1)<2700，又n∈N*，所以n≤51，故选A.2．如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB＝1，BC＝，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．答案3解析设∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC2＝3－2cosθ，由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝.在△DCB中，由余弦定理可得，BD2＝CD2＋2－2CDcos＝AC2＋2＋2ACsin∠ACB＝3－2cosθ＋2＋2AC×＝5＋2(sinθ－cosθ)＝5＋4sin，当θ＝时，max＝1，∴BD＝9，∴BDmax＝3.3．已知F是抛物线C：x2＝2py，p>0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两点，且|GF|＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D上的点M满足MP·MQ＝0.(1)求抛物线C和曲线D的方程；(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解(1)由抛物线定义知＋＝，得p＝，故抛物线的方程为x2＝y.由MP·MQ＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆，其方程为x2＋(y－6)2＝4.(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|，则|AS|＝|BT|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，由AS＝(x3－x1，y3－y1)，TB＝(x2－x4，y2－y4)，且AS＝TB得x3－x1＝x2－x4，即x1＋x2＝x4＋x3.(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D内即可，此时40，①且x1＋x2＝k.由方程组得(1＋k2)x2＋2k(m－6)x＋(m－6)2－4＝0，直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离d＝0，∴－20，所以当x∈[0,2)时，g′(x)<0，函数g(x)单凋递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．所以当x≥0时，g(x)≥g(2)＝2×23－3×22－12×2－e2×(3－2)＝－20－e2.由不等式恒成立可得b≤－20－e2，即实数b的取值范围为(－∞，－20－e2]．
