专题跟踪训练(十四)一、选择题1．(2015·兰州双基)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．10πB．8πC．6πD．9π[解析]由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为：4π×3－×4π×3＝8π，故选B.[答案]B2．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是()[解析]根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则，可以判断B选项中的图形不可能是其俯视图．[答案]B3．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为()A．1＋B．2＋2C.D．2＋[解析]依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面边长为1，PD＝1，PD⊥平面ABCD，S△PAD＝S△PCD＝×1×1＝，S△PAB＝S△PBC＝×1×＝，S四边形ABCD＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋，选D.[答案]D4．(2015·石家庄二模)已知三棱锥O－ABC，侧棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC＝2，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥O－ABC重叠部分的体积是()A.B.C.D.[解析]由已知条件可得点O到平面ABC的距离为>1，所以重叠部分是以O为球心，1为半径的球的，故所求体积V＝×π×13＝.[答案]C5．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4[解析]由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为×2π×1×2＋2××π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.[答案]D6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.[解析]如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A－A1B1D1，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为.故选D.[答案]D7．(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋B．2＋C．1＋2D．2[解析]在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P－ABC，表面积为×1×2×2＋×()2×2＝2＋，故选B.[答案]B8．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为()A.B.C．1D.[解析]在三棱锥C－ABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O， 正方形边长为，∴AO＝OC＝1，∴侧视图的面积为S△AOC＝×1×1＝，故选B.[答案]B9．(2015·甘肃兰州诊断)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2B.C.D．3[解析]由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S＝×(1＋2)×2＝3，高h＝x，所以其体积V＝Sh＝×3x＝3，解得x＝3，故选D.[答案]D10．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为()A.πB．2πC．3πD．4π[解析]如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．据题意解得∴长方体的体对角线长为＝，∴三棱锥外接球的半径为.∴三棱锥外接球的体积为V＝π·3＝π，故选A.[答案]A11．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)()A.B.C.D.[解析]由三视图知，原工件为圆锥，要使正方体新工件的体积最大，则正方体下底面在圆锥底面上，上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形，过正方体的顶点作轴截面如图，且AB为上底面正方形的对角线，设正方体的棱长为a，则AB＝a，又圆锥的高为＝2，所以＝，得a＝，正方体体积为V＝a3＝，圆锥的体积为×π×12×2＝，故原工件的材料利用率为＝，选A.[答案]A12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则...
