中档题专练(四)1.如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(2)求证:AF⊥平面CBF.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosB=45.(1)若c=2a,求sinBsinC的值;(2)若C-B=π4,求sinA的值.3.如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆E上一点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆E的离心率e=❑√32.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设P是椭圆E上异于A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点M,N为MB的中点.①若点F1为椭圆的左焦点,点F2为椭圆的右焦点,F1关于直线PN的对称点为Q,当点P的坐标为(4❑√55,❑√55)时,求证:点P,Q,F2三点共线;②试判断直线PN与椭圆E的位置关系,并证明你的结论.答案精解精析1.证明(1)设DF的中点为N,连接MN,AN,则MN∥12CD,MN=12CD,又∵AO∥12CD,AO=12CD,∴MN∥AO,MN=AO,∴四边形MNAO为平行四边形,∴OM∥AN,又∵AN⊂平面DAF,OM⊄面DAF,∴OM∥平面DAF.(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,CB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴CB⊥平面ABEF,∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB.∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.∵CB∩BF=B,CB,BF⊂平面CBF,∴AF⊥平面CBF.2.解析(1)解法一:在△ABC中,因为cosB=45,所以a2+c2-b22ac=45.因为c=2a,所以(c2)2+c2-b22c×c2=45,即b2c2=920,所以bc=3❑√510.又由正弦定理得sinBsinC=bc,所以sinBsinC=3❑√510.解法二:因为cosB=45,B∈(0,π),所以sinB=❑√1-cos2B=35.因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sin(B+C)=65cosC+85sinC,即-sinC=2cosC.又因为sin2C+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=2❑√55,所以sinBsinC=3❑√510.(2)因为cosB=45,所以cos2B=2cos2B-1=725.又0
