第五讲导数及其应用一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.＝．1导数的运算法则特例及推广(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数．(2)=(3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±ω(x)]＝u′(x)±v′(x)±…±ω′(x)．四、函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．导数与函数单调性的关系①f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；②f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．五、函数的极值与导数1．函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．2．函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．f′(x0)＝0同x0是f(x)极值点的关系f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．六、函数的最值与导数1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值同最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．基础自测1．(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.【解析】函数y＝kx＋lnx的导函数为y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.【答案】－12．当x＞0时，f(x)＝x＋的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(，＋∞)D．(0，)【解析】f′(x)＝1－，令f′(x)＜0，∴∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0,2)．【答案】B3．函数f(x)＝x2－lnx的最小值()A.B．1C．不存在D．0【解析】f′(x)＝x－＝，且x＞0，令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝.2【答案】A考点一利用导数研究函数的单调性例（2014山东）设函数，其中为常数.（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；（II）讨论函数的单调性.【解析】(1),此时(2)3跟踪练习(2013·宜昌模拟)已知函数f(x)＝alnx－2ax＋3(a≠0)．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线的斜率为.若函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋m]在区间(1,3)上不是单调函数．求实数m的取值范围．【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．又f′(x)＝－2a＝，∴当a>0时，由f′(x)>...
