高考数学 专题34 直线及其方程热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题34直线及其方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。2．掌握确定直线位置的几何要素。3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系。热点题型一直线的倾斜角与斜率例1、(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是()A.B.C.D.(2)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________。解析：(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]。设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是。选B。(2)方法一：如图所示，直线PA的斜率kPA＝＝5，直线PB的斜率kPB＝＝－。当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是。∴直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)。【提分秘籍】已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)。(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围。【举一反三】直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.B．(0，π)C.D.∪解析：直线x·sinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又 －1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是。故选D。答案：D热点题型二直线的方程例2、根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12。解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式。设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±。故所求直线方程为y＝±(x＋4)。即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0。(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以＋＝1，解得a＝－4或a＝9。故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0。【提分秘籍】求直线方程时的注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。【举一反三】已知直线l过点(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为()A．x＋2y－5＝0B．x＋2y＋5＝0C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0D．2x－y＝0或x－2y＋3＝0热点题型三直线方程的综合应用例3．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点。求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程。解析：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)。设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0。(2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0。【提分秘籍】(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”。(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值。【举一反三】过P(2,1)作直线l，分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点。(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程。解析：过P的直线l与x，y轴正半轴相交，∴直线l的斜率k一定存在且小于零，∴直线l的方程可设为y－1＝k(x－2)。则A，B(0,1－2k)。(1)S△AOB＝|OA|·|OB|＝×(1－2k)＝＝＝≥＝4。当且仅当－4k＝即k＝－时等号成立。∴l的方程为x＋2y－4＝0。(2)|PA|·|PB|＝·＝≥＝4。当且仅当＝4k2即k2＝1时取等号。又 k＜0，∴k＝－1，∴l的方程为x＋y－3＝0。1.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大...