知识交汇处的圆锥曲线问题例已知常数，在矩形中，为中点，点分别在上移动，且，为与的交点（如图1）．部是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值？若不存在，请说明理由．分析：本题是一道轨迹题，用交轨法求P点的轨迹，是隐含其中的问题，并且藏而不漏．该问题是以是否存在性方式提出寻找两定点和为定值问题，根据两定点的距离之和为定值的点的集合为椭圆，从而该题即为“是否存在这样的常数a，使点P的轨迹为椭圆”．此题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质及曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想并且应用了构造法．题目中点E、F、G、P都在运动，其中点P是由于点E、F、G的运动而生成，通过设比值为，求出动点E、F、G、P的坐标，消去参数，就可以得到动点P的轨迹方程．另一种解题思路通过设出动点坐标，求出相应的直线方程，然后再根据三点共线求得动点P的轨迹方程．求解此类问题的一般方法是，可先求出动点的轨迹方程，然后根据其定义和性质进行存在性的探索．如果推导出的结论符合曲线的定义或性质，就可认定结论成立，否则就可否定结论成立．解：由题意，．设，则，，．设，则有，则有，．由，得，由，得，由以上两式中消去参数，得点的坐标应满足方程．整理，得．（1）当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．（2）当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离和为定长．①当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值用心爱心专心1．②当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值．评析：本题把动点轨迹问题，数学建模问题，分类讨论问题等几个难点以是否存在的形式有机地结合在一起，立意新颖，思路宽阔．若将已知条件作局部变换，即将E，F，G三个主动点改变，则点P的轨迹亦将随之改变，这样，就可以建立起一张曲线联系网．结论一：若将题中所给条件“”改为“”（如图2）．为与的交点．问是否存在两个定点，使到这两点的距离之差为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值？若不存在，请说明理由．分析：若设，得点满足方程，显然点的轨迹为双曲线的一部分．即存在两定点，，使得点到这两点的距离之差的绝对值为定值．结论二：若将题中所给条件“”改为“”（如图3）．为与的交点．问是否存在一定点和一定值值，使点到该定点和定直线的距离相等？若存在，求出这点的坐标及该直线的方程？若不存在，请说明理由．分析：若设，得点满足方程，显然点的轨迹为抛物线的一部分．即存在定点和定直线，使点到该定点和定直线的距离相等．结论三：若将题中所给条件“”改为“”（如图4）．为与的交点．问是否存在一定点和一定直线，使点到该定点和定值的距离相等？若存在，求出这点的坐标及该直线的方程？若不存在，请说明理由．分析：若设，得点满足方程，，显然点轨迹为抛物线的一部分．即存在定点和定直线，使点到该定点和定用心爱心专心2直线的距离相等．整个问题围绕解析几何的基本问题“由曲线求方程或由方程研究曲线”设问、展开，并将两个问题紧密地结合在一起，无论是题设的给出还是思维方式的考查都很新颖．利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，打破了学生的思维定势．用心爱心专心3
