第三讲圆锥曲线的综合应用第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题1．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且PQ＝λPR，求实数λ的取值范围．解析：(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2.又0＜k＜2，∴＜k＜2.由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①x1x2＝.②∵PQ＝λPR，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)．③联立①②③，可得＝.∵＜k＜2，∴＝∈(4，)，∴4＜＜，∴＜λ＜3，且λ≠1.∵λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1,3)．2．(2018·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．|AB|＝|x2－x1|＝＝，点N到直线AB的距离d＝＝，则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.3．(2018·山西四校联考)如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M、N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM＝∠BNM.解析：(1)设圆C的半径为r(r＞0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)．∵|MN|＝3，∴r2＝2＋22，解得r2＝.∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝.(2)证明：把x＝0代入方程(x－2)2＋2＝，解得y＝1或y＝4，即点M(0,1)、N(0,4)．①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.˚②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.联立方程，消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴kAN＋kBN＝＋＝＋＝.若kAN＋kBN＝0，则∠ANM＝∠BNM.∵2kx1x2－3(x1＋x2)＝＋＝0，∴∠ANM＝∠BNM.4．(2018·德州模拟)已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足MQ·AP＝0，AP＝2AM.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤OF·OH≤时，求k的取值范围．解析：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2＞|CA|＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.联立，得⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，x1＋x2＝，x1x2＝，所以OF·OH＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＋kt＋t2＝－＋k2＋1＝，所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，所以－≤k≤－或≤k≤.故k的取值范围是[－，－]∪[，]．
