题组层级快练(六十五)1．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A．(－，)B．(0，)C．(－，0)D．(－，－1)答案D3．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为()A．8B．2C．4D．随α的大小而变化答案C解析由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.4．已知A，B，P是双曲线－＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPA·kPB＝＝.所以e2＝＝.故e＝.5．(2015·四川绵阳第二次诊断考试)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为()A．x2＋(y－1)2＝1B．x2＋(y－)2＝3C．x2＋(y－)2＝D．x2＋(y－2)2＝4答案A解析设圆心(0，b)，(b>0)，半径为b，双曲线渐近线方程为y＝±x，圆心到渐近线的距离为d＝.由勾股定理，得()2＋()2＝b2，∴b＝1.所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.6.(2015·天津河西质量调研)如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两个分支分别交于B，A，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.B.C．4D.答案D解析设等边三角形的边长为x，则根据双曲线定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴∴在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理，得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4acos60°.∴c2＝7a2，即e＝.7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.选A.8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析设双曲线方程－＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴①－②，得＝·.∴1＝·，∴5a2＝2b2.又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，故选D.9．(2015·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为()A.B.C.D.答案B解析依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3,0)，Q(3,0)，M(0,0)，F(5,0)，＝.10．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率为________．答案解析圆x2＋y2＝的半径为，由OE＝(OF＋OP)知，E是FP的中点，设F′(c,0)，由于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝|PF′|⇒|PF′|＝2|OE|＝a.由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，从而∠FPF′＝90°.由勾股定理，得|FP|2＋|F′P|2＝|FF′|2⇒9a2＋a2＝4c2⇒e＝.11．双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA＝2AQ，则直线l的斜率为_______．答案x±y＝0，±3解析双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为x2－y2＝0，即y＝±x；双曲线C的右顶点A(1,0)，设l：x＝my＋1，联立方程，得消去x，得(m2－1)y2＋2my＋1＝0(*)，方程(*)的根为P，Q两点的纵坐标，设P(xP，yP)， PA＝2AQ，∴yP＝－2yQ.又解得m＝±，直线l的斜率为，即为3或－3.12．已知曲线－＝1(ab≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP·OQ＝0(O为原点)，则－的值为________．答案2解析将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1...
