高难拉分攻坚特训(二)1．定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(4)＝0，且当x>0时，不等式3f(x)>－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝x3f(x)＋lg|x－1|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析定义在R的奇函数f(x)满足：f(0)＝0＝f(4)＝f(－4)，且f(－x)＝－f(x)，又x>0时，3f(x)>－xf′(x),即3f(x)＋xf′(x)>0，∴[x3f(x)]′＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]>0，令函数h(x)＝x3f(x)，则h(x)在x>0时是增函数，又h(－x)＝－x3f(－x)＝x3f(x)，∴h(x)＝x3f(x)是偶函数；∴x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)＝0＝f(4)＝f(－4)，可得函数h(x)＝x3f(x)与u(x)＝－lg|x－1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝x3f(x)＋lg|x－1|的零点的个数为3个，故选C.2．三棱锥S－ABC的各顶点都在同一球面上，若AB＝3，AC＝5，BC＝7，侧面SAB为正三角形，且与底面ABC垂直，则此球的表面积等于________．答案解析设△ABC外接圆的圆心为O1，△SAB外接圆的圆心为O2，过O1，O2分别作平面ABC，平面SAB的垂线交于点O，则O为球心．在△ABC中，cos∠BAC＝＝－，∴∠BAC＝120°，设圆O1的半径为r1，根据正弦定理，得2r1＝＝，∴r1＝.△SAB外接圆的圆心O2为正三角形SAB的中心，连接SO2交AB于点D，则O2D＝SD＝，且O2D＝OO1＝.设外接球的半径为R，连接O1A，则R2＝O1A2＋OO＝＋＝，∴此球的表面积S＝4πR2＝.3．在直角坐标系xOy中，动圆M与圆O1：x2＋2x＋y2＝0外切，同时与圆O2：x2＋y2－2x－24＝0内切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)设动圆圆心M的轨迹为曲线C，设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|·|OT|为定值．解(1)∵圆O1：x2＋2x＋y2＝0，∴圆心O1(－1,0)半径为1.∵圆O2：x2＋y2－2x－24＝0，∴圆心O2(1,0)半径为5.设动圆圆心M(x，y)，半径为R，∵圆M与圆O1外切，∴|MO1|＝R＋1，∵圆M与圆O2内切，∴|MO2|＝5－R，两式相加得：|MO1|＋|MO2|＝6>|O1O2|，由椭圆定义知：M在以O1O2为焦点的椭圆上，∵2a＝6，∴a＝3，∵c＝1，∴b＝2.∴动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，A(x2，y2)，S(xS,0)，T(xT,0)∴B(x2，－y2)且x1≠±x2∵kAP＝，∴lAP：y－y1＝kAP(x－x1)，y－y1＝(x－x1)，令y＝0得xS＝；同理得，xT＝.∵|OS|·|OT|＝|xS·xT|＝，又∵P，A在椭圆上，∴y＝8，y＝8，∴y－y＝，∴xy－xy＝8(x－x)，∴|OS|·|OT|＝＝＝9.4．解答下列问题：(1)求函数f(x)＝的最大值；(2)若函数g(x)＝ex－ax有两个零点，求实数a的取值范围．解(1)对f(x)＝求导得，f′(x)＝.易知当0
e时，f(x)为减函数，∴f(x)≤f(e)＝，从而f(x)的最大值为.(2)①当a＝0时，g(x)＝ex在R上为增函数，且g(x)>0，故g(x)无零点．②当a<0时，g(x)＝ex－ax在R上单调递增，又g(0)＝1>0，g＝e－1<0，故g(x)在R上只有一个零点．③当a>0时，由g′(x)＝ex－a＝0可知g(x)在x＝lna处取得唯一极小值，g(lna)＝a(1－lna)．若00，g(x)无零点，若a＝e，则g(x)极小＝0，g(x)只有一个零点，若a>e，则g(x)极小＝a(1－lna)<0，而g(0)＝1>0，由(1)可知，f(x)＝在x>e时为减函数，∴当a>e时，ea>ae>a2，从而g(a)＝ea－a2>0，∴g(x)在(0，lna)与(lna，＋∞)上各有一个零点，即a>e时，g(x)有两个零点．
