函数的周期性周期函数的定义：对于函数，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有，则称的常数T为函数的周期。周期函数的性质：①的周期为；②如的周期为；③如的周期为；④对于三角函数，其周期；⑤对于，其周期⑥若关于直线对称，则一定为周期函数，为的周期。【试题举例】例1、(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(B)(A)－1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由由是定义在R上的奇函数得，∴，故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质：①的周期为；②如是定义在R上的奇函数，则。例2、（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：01例3、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.例4、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例5、（1996全国，15）设是上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：由，又是奇函数，故，故选择B。例6、（2005福建卷是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（B）A．5B．4C．3D．2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故选择B。例7（05广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．2（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.34
