第三讲空间向量与立体几何一、空间向量的有关概念及定理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同过点PMP＝xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝OA＋tAB对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB1二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝三、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2[n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0四、利用空间向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则2l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0<θ≤0＜〈a，b〉＜π关系cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cos〈a，b〉＝2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3．求二面角的大小(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图7－7－1①)．图7－7－1(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图7－7－1②③)．利用空间向量求点面距离如图，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.基础自测1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2【解析】 a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或【答案】A2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6【解析】 α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.【答案】C3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()3A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或135°.【答案】C考点一利用空间向量求线线角、线面角例(2013·湖南高考)图7－7－5如图7－7－5，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【思路点拨】(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法证明线线垂直．(2)...
