第5讲导数的简单应用导数的几何意义1．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；(4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)．(1)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)曲线y＝x2＋a在x＝处的切线与曲线y＝ex相切，则a＝________．【答案】(1)y＝x＋1(2)【解析】(1)因为y′＝2x－，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.(2)由y＝x2＋a，得y′＝2x.所以k＝y′|x＝＝1，且当x＝时，y＝＋a，所以切线方程为y－(＋a)＝x－.即y＝x＋a－.设切线与曲线y＝ex相切于(x0，ex0)，由y＝ex，得y′＝ex，所以ex0＝1，x0＝0，则切线与曲线y＝ex的切点为(0，1)，所以1＝a－，即a＝.(1)利用导数的几何意义求曲线的切线问题的基本思路设曲线在(x0，y0)处的切线为l，则根据(2)过点P与曲线相切的切线问题设出切点坐标(x0，f(x0))，先求出在x＝x0处的切线方程，然后用所过点的坐标代入即求出x0，从而得出切线方程．(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna．从而当且仅当－a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0.③若a<0，则由(1)得，当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]．从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，即a≥－2e时f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e，1]．求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．【对点训练】1．(2019·张掖第一次诊断考试)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上单调递减，则实数a的取值范围是________．【答案】：[，＋∞)【解析】：f′(x)＝x2－ax＋1，因为函数f(x)在区间(，3)上单调递减，所以f′(x)≤0在区间(，3)上恒成立，所以，即，解得a≥，所以实数a的取值范围为[，＋∞)．2．(2019·云南第一次统考)已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．判断函数f(x)的单调性．利用导数研究函数的极值(最值)导数与函数的极值、最值的关系(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1(2)(2018·唐山二模)已知函数f(x)＝lnx－nx(n>0)的最大值为g(n)，则使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范围为()A．(0，1)B．(0，＋∞)C.D.【答案】(1)A(2)A【解析】(1)因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－20，n>0)，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)＝f＝－lnn－1.设h(n)＝g(n)－n＋2＝－lnn－n＋1.因为h′(n)＝－－1<0，所...
