中档题专练(七)1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABHG;(2)求证:平面ABHG⊥平面CFED.2.已知函数f(x)=sinx3cosx3+❑√3cos2x3.(1)将f(x)写成y=Asin(ωx+φ)+B的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边长a,b,c满足b2=ac,且边AC所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.3.(2017镇江高三期末考试)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.(1)求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;(2)问AD段多长时,S最小?4.设等比数列{an}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)试确定t的值,使得数列{bn}为等差数列;(3)当{bn}为等差数列时,对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.答案精解精析1.证明(1)因为E,F是A1D1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面ABHG,AB⊂平面ABHG,所以EF∥平面ABHG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD^平面BB1C1C,又BH⊂平面BB1C1C,所以BH⊥CD.①设BH∩CF=P,易证得△BCH≌△CC1F,所以∠HBC=∠FCC1,因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC1+∠PHC=90°.所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.②因为DC∩CF=C,DC,CF⊂平面CFED,所以BH⊥平面CFED.又BH⊂平面ABHG,所以平面ABHG⊥平面CFED.2.解析(1)f(x)=12sin2x3+❑√32(1+cos2x3)=12sin2x3+❑√32cos2x3+❑√32=sin(2x3+π3)+❑√32.由sin(2x3+π3)=0,得2x3+π3=kπ(k∈Z),所以x=3k-12π,k∈Z,所以对称中心的横坐标为3k-12π(k∈Z).(2)由已知b2=ac及余弦定理,得:cosx=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac≥2ac-ac2ac=12.∴12≤cosx<1,∴0
