考点45立体几何中的向量方法1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）.【解析】（1）证明： 侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，∴，面，∴面，又面，∴，平面，面，∴，，平面，∴面，面，∴平面平面．（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．令，由（1）知，，∴，而，当且仅当，即时，的最大值为．如图所示，分别取线段，中点，，连接，，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，∴易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则.2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．（1）证明：AP⊥平面PBC（2）求二面角P—AB一C的余弦值【答案】(1)见解析.(2).【解析】（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，∴平面，∴，又，，平面，平面，∴平面.（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，则为直线与圆所在平面所成角，所以.过作于，连结，则，故为二面角的平面角.由已知，，在中，，由得，在中，，故，故，即二面角的余弦值为.法二：过作于，则平面，过作交于，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，，从而，，设平面的法向量，则得，令，从而，而平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为.3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=， ∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=， E，F分别是PA，BD的中点，EF=，∴EF是△PBD的中位线，∴PB=2EF=2×=，∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO， AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，∴锐二面角E-AC-D的余弦值为．4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EF E为SD中点∴ ∴∴得平行四边形∴ 平面∴为二面角的平面角∴ ∴∴∴（2）作AB中点O，由（1）知 ∴平面如图建立空间直角坐标系设，则∴设平面SCD的法向量，得令，则 ∴∴∴AB与平面所成角的余弦值为.5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）面ABEF为正方形又，而,面,面面（2），则由（1）知面平面，过作，垂足为，平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知为二面角的平面角，故，又，则，，，，．由已知，，平面．又平面平面，故，．由，可得平面，为二面角的平面角，．．，，．设是平面的法向量，则，即，可取.则．直线与平面BCE所成角的正弦值为.6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD...
