第7讲空间中角与距离的计算1．如图X871，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A.B.C.D.图X871图X8722．(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)如图X872，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q＝3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为()A.B.C.D.3．如图X873，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A.B.C.D.图X873图X8744．若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B.C.D.5．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．6．如图X874，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为____________．7．(2017年山东)如图X875，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．图X8758．(2017年广东深圳一模)如图X876，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，1设BD与AC相交于点G，AB＝BD＝2，AE＝，∠EAD＝∠EAB.(1)证明：平面ACFE⊥平面ABCD；(2)若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角BEFD的余弦值．图X8769．(2016年新课标Ⅱ)如图X877，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角BD′AC的正弦值．图X8772第7讲空间中角与距离的计算1．D2．C解析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立如图D156所示的空间直角坐标系，图D156则由题意，得A(0,4,0)，C(0,0,0)，B(4，0,0)，M(0,4,2)，A1(0，4,4)，P(2，2,1)．则CQ＝CA1＝(0,4,4)＝(0,1,1)．∴Q(0,1,1)，AC＝(0，－4,0)，PQ＝(－2，－1,0)．设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ＝|cos〈AC，PQ〉|＝＝，∴sinθ＝＝.故选C.3．B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1与平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝.4．B解析：方法一(间接法)，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC.故△B1DC为直角三角形．不妨设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝.∴1BDCS＝××＝.设A到平面B1DC的距离为h，则有1ABDCV＝1BADCV，∴×h×1BDCS＝×B1D×S△ADC.∴×h×＝××.∴h＝.设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.方法二(向量法)，如图D157，取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系．图D157不妨设各棱长为2，则有A(0，－1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)．设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0,2,1)．设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，∴sinθ＝cos〈AD，n〉＝＝.5.解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1. BD＝BM＋MN＋ND.∴|BD|2＝|BM＋MN＋ND|2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2＋2(BM·MN＋MN·ND＋BM·ND)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝.∴|BD|＝.6.解析：方法一，如图D158，以C为原点建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C1(0,0,2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.图D1583∴AC1＝(－2,0,2)，AC2＝.设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈，所以θ＝.方法二，取A1B1的中点H，连接AH，由题意易知C1H⊥平面ABB1A1，∴∠C1AH即为AC1与平面ABB1A1所成的角．在Rt△C1HA中，C1H＝，C1A＝＝2，∴∠C1AH＝，即AC1与侧面ABB1A所成角为.7．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，又AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一，取EC的中点H，连接EH，GH，CH，如图D159.因为∠EBC＝120°，所以四边形为BEHC为菱形．所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.取AG中点M，连接EM，CM，EC.则EM⊥AG，CM⊥AG.所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，...
