配餐作业(十七)导数与函数的零点(时间：40分钟)1．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0。(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0；所以当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)。当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>。由f′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)。(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1。所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1。由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3。因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知，实数m的取值范围是(－3,1)。答案(1)见解析(2)(－3,1)2．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x。(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数；(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个。解析(1)a＝2时，由得x2＋3x＋1＝＋x，整理得x3＋x2－x－2＝0(x≠1)。令y＝x3＋x2－x－2，求导得y′＝3x2＋2x－1，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝，故得极值分别在x＝－1和x＝处取得，且极大值、极小值都是负值。所以x3＋x2－x－2＝0的解只有一个，即y＝f(x)与y＝g(x)的公共点只有一个。(2)由得x2＋3x＋1＝＋x，整理得a＝x3＋x2－x(x≠1)，令h(x)＝x3＋x2－x，联立h′(x)＝0可以得到极值点分别是x＝－1和x＝，画出草图，如图所示，h(－1)＝1，h＝－，当a＝h(－1)＝1时，y＝a与y＝h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y＝h(x)曲线上)，故a＝－时恰有两个公共点。答案(1)一个(2)－3．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线。(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；(3)判断函数F(x)＝2f(x)－g(x)＋2的零点个数。解析(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b。由题意，两函数在x＝0处有相同的切线，∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b。∴2a＝b，f(0)＝a＝g(0)＝2，∴a＝2，b＝4。∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2。(2)由(1)得f′(x)＝2ex(x＋2)。由f′(x)>0得x>－2，由f′(x)<0得x<－2，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减。 t>－3，∴t＋1>－2。①当－30得x>－ln2或x<－2，由F′(x)<0得－20，F(－4)＝4e－4×(－4＋1)－16＋16＝－12e－4<0，故函数F(x)＝2f(x)－g(x)＋2只有一个零点。答案(1)f(x)＝2ex(x＋1)g(x)＝x2＋4x＋2(2)见解析(3)一个4．(2016·湖南四校联考)已知函数f(x)＝x2－(－1)k2alnx(k∈N，a∈R，且a>0)。(1)求f(x)的极值；(2)若k＝2016，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值。解析(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－(－1)k2a·，当k为奇数时，f′(x)＝2x＋>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值；当k为偶数时，f′(x)＝2x－＝＝，∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∴f(x)有极小值，f(x)极小值＝f()＝a－2aln＝a－alna。(2) k＝2016，则f(x)＝x2－2alnx，令g(x)＝x2－2alnx－2ax，g′(x)＝2x－－2a＝＝(x2－ax－a)，令g′(x)＝0，∴x2－ax－a＝0， a>0，x>0，∴x0＝。当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增，又g(x)＝0有唯一解，∴即两式相减得2alnx0＋ax0－a＝0⇒2lnx0＋x0...
