高考数学一轮复习 专题三 数列课时作业（含解析）文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

数列1．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求{bn}的前n项和．解：(Ⅰ)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．通项公式为an＝3n－1.(Ⅱ)由(Ⅰ)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．解：(1) an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即＝2.∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1，Sn＝2n－1，设{bn}的公差为d，b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)cn＝＝＝，∴Tn＝＝＝， n∈N*，∴Tn＝<，又Tn－Tn－1＝－＝>0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn<.3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解：(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以an＝2n，n∈N*.(3)证明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴＝＝≤＝.∴＋＋…＋≤＝<.∴不等式成立．4．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．解：(1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，∴f(n)＝n.(2)证明：设Tn为{an}的前n项和， an＝n·f(n)＝n·n，∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，两式相减得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1，∴Tn＝2－n－1－n×n<2.即a1＋a2＋a3＋…＋an<2.(3) f(n)＝n，∴bn＝(9－n)·＝(9－n)＝，∴当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值．1．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；(2)证明{an}不可能是等比数列；(3)若a1＝－1，是否存在实数k和b使得数列{an＋kn＋b}是等比数列？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7.因为{an}是等差数列，所以2a2＝a1＋a3，所以a1＝－3，a2＝－4，所以公差d＝－1.(2)证明：假设{an}是等比数列，则a＝a1a3，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋7)，解得a1＝－4，从而a2＝－6，a3＝－9.又a4＝2a3＋4＝－14，所以a2，a3，a4不成等比数列，这与假设矛盾．故{an}不可能是等比数列．(3)假设存在满足条件的k，b，则对任意n∈N*有＝＝恒为常数，则，解得所以数列{an＋n＋2}是首项为a1＋1＋2＝－1＋1＋2＝2，公比为2的等比数列，从而an＋n＋2＝2n，故an＝2n－n－2.2．设数列{an}的前n项和为Sn，如果为常数，则称数列{an}为“幸福数列”．(1)等差数列{bn}的首项为1，公差不为零，若{bn}为“幸福数列”，求{bn}的通项公式；(2)数列{cn}的各项都是正数，其前n项和为Sn，若c＋c＋c＋…＋c＝S对任意的n∈N*都成立，试推断数列{cn}是否为“幸福数列”？并说明理由．解：(1)设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，前n项和为Tn，则＝k，因为b1＝1.则n＋n(n－1)d＝k[2n＋·2n(2n－1)d]，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d.整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n上式恒成立，则，解得.故数列{bn}的通项公式是bn＝2n－1.(2)由已知，当n＝1时，c＝S＝c.因...