导数的应用1.已知函数的导函数为，且满足，则6。2.曲线在点（）处的切线方程为3．已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝____2_____；n＝______9_______；4.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为____________．5.已知关于的函数.若函数在处有极值，则=，6.已知函数在区间上恒为单调函数，则实数的取值范围是1.利用导数处理方程问题例1（2009江西卷文）设函数329()62fxxxxa．（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围．解：(1)'2()3963(1)(2)fxxxxx,因为(,)x,'()fxm,即239(6)0xxm恒成立,所以8112(6)0m,得34m，即m的最大值为34(2)因为当1x时,'()0fx;当12x时,'()0fx;当2x时,'()0fx;所以当1x时,()fx取极大值5(1)2fa;当2x时,()fx取极小值(2)2fa;故当(2)0f或(1)0f时,方程()0fx仅有一个实根.解得2a或52a.用心爱心专心1oyx-332利用导数研究函数的图像变化规律例3(2009陕西卷文）已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1）'22()333(),fxxaxa当0a时，对xR，有'()0,fx当0a时，()fx的单调增区间为(,)当0a时，由'()0fx解得xa或xa；由'()0fx解得axa，当0a时，()fx的单调增区间为(,),(,)aa；()fx的单调减区间为(,)aa。（2）因为()fx在1x处取得极大值，所以'2(1)3(1)30,1.faa所以3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，又(3)193f，(3)171f，结合()fx的单调性可知，m的取值范围是(3,1)例2用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？用心爱心专心2课后练习1、函数在x∈[－1，1]上的最大值等于2函数33fxxxa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是2,23函数图象如图，则函数的单调递增区间为4已知函数在处取极值10，则185.且与曲线相切的直线方程是y＝4x－4或y＝x＋26.过函数处的切线方程是。7.设函数，已知是奇函数。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值解答:（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。8.已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间；(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）由，得，函数的单调区间如下表：用心爱心专心3－23yx0极大值极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得。9.已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求的取值范围解：（1）由题意得：（2）函数在上是增函数在上恒成立在上恒成立用心爱心专心4
