平面向量应用1、(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．解析(1)以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)．∴AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)．从而AE·BD＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－AB＋AD.因为AC·BE＝1，所以(AB＋AD)·＝1，即AD2＋AB·AD－AB2＝1.①因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以AB·AD＝|AB|，因此①式可化为1＋|AB|－|AB|2＝1，解得|AB|＝0(舍去)或，所以AB的长为.答案(1)2(2)2、在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC·AE＝()．A.B.C.D.(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比值是()．A.B.C.D.解析(1)建立如图平面直角坐标系，则A，C，B.∴E点坐标为，∴AC＝(，0)，AE＝，∴AC·AE＝×＝.(2)由已知可得PC＝2AP，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.答案(1)D(2)A3、(2013·湖南卷)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE·PF的最值．解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC＋PQ)·(PC－PQ)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，1即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.(2)因PE·PF＝(NE－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝(－NP)2－NF2＝NP2－1，P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以NP2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.因y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值为19；当y0＝2时，NP2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，故PE·PF的最小值为12－4.3、已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝0，AM＝－MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则PA＝(a,3)，AM＝(x－a，y)，MQ＝(－x，b－y)，由PA·AM＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由AM＝－MQ，得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，∴∴把a＝－代入①，得－＋3y＝0，整理得y＝x2(x≠0)．所以动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．4、已知a，b是单位向量，a·b＝0❶.若向量c满足|c－a－b|＝1❷，则|c|的最大值为________．解析建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设OA＝a＝(1,0)，OB＝b＝(0,1)，OC＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)， |c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1.答案＋15．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA＋AB＋AC＝0，|OA|＝|AB|，则CA·CB＝()．A.B.C．3D．2解析由2OA＋AB＋AC＝0，得2OA＋OB－OA＋OC－OA＝0，即OB＝－OC，即O，B，C三点共线，BC为△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.又|OA|＝|AB|，得B＝60°，所以C＝30°，且|CA|＝(如图所2示)．所以CA·CB＝|CA||CB|cos30°＝×2×＝3.答案C6．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.7．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()．A．1B．－1C.D.解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案A8．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()．A.B.C．2D.解析a·b＝...
