2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标13变化率与导数、导数的计算理[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，它是导数方法的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(D)A．2B．0C．－2D．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(D)A．0B．26C．29D．212解析：∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′＝(x－a1)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.3．(2017·河南八市质检)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝f(x)，则tan2x的值是(D)A．－B．－C．D．解析：因为f′(x)＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝，故选D．4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(B)A．B．C．D．解析：∵y＝，∴y′＝＝＝≥－1，∴－1≤tanα<0.又∵0≤α<π，∴≤α<π，故选B．5．(2017·河南郑州质检)函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为(C)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1.又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0，故选C．6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(D)1A．B．－C．D．－或解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.二、填空题7．(2017·广东惠州模拟)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为5x＋y＋2＝0.解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.8．(2017·河北邯郸模拟)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于log2e.解析：∵y′＝，∴k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴三角形面积为S＝×1×＝＝log2e.9．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点坐标为.解析：∵y′＝－，∴解得x＝3.故切点坐标为.三、解答题10．(1)已知f(x)＝eπx·sinπx，求f′(x)及f′；(2)已知f(x)＝(x＋)10，求.解析：(1)∵f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx，∴f′＝πe＝πe.(2)∵f′(x)＝10(x＋)9·，∴f′(1)＝10(1＋)9·＝(1＋)10＝5(1＋)10.又f(1)＝(1＋)10，∴＝5.11．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．解析：(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.当x＝2时，y′最小，即切线的斜率最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)证明：设点(x0，y0)∈C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，－12)对称的点，则∵点(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴点(x，y)∈C，于是曲线C关于切点(2，－12)对称．12．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；2(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f′(x)＝a－，于是解得或因为a，b∈Z，所以a＝1，b＝－1，故f(x)＝x＋.(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数．所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1.可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为对称中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为.令y＝x得x＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1，2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.所以所围三角形的面积为定值2.3
