题组训练66双曲线（二）1．已知集合A＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|－＝1，x，y∈R}，则A∩B中元素的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析集合A表示双曲线，顶点为(±3，0)，其渐近线方程为±＝0，集合B表示直线，与x轴的交点为(3，0)，且与其中一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个交点，所以A∩B中元素的个数为1.故选B.2．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．3．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为()A．8B．2C．4D．随α的大小而变化答案C解析由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.4．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得＝，从而＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.5．(2017·山东师大附中模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有()A．4条B．3条C．2条D．1条答案B解析当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6，故选B.6．等轴双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()A.B．2C．4D．8答案C解析抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.7．(2018·河北石家庄摸底)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝5∶12∶13，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案B解析设|AF1|＝t，|AB|＝5x，则|BF2|＝12x，|AF2|＝13x，根据双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a，即13x－t＝(5x＋t)－12x＝2a，解得t＝10x，x＝a，即|AF1|＝a，|AF2|＝a. |AB|∶|BF2|∶|AF2|＝5∶12∶13，∴△ABF2是以B为直角的三角形．∴|BF1|＝t＋5x＝10x＋5x＝15x＝15×a＝10a，|BF2|＝12x＝12×a＝8a，则|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即100a2＋64a2＝4c2，即164a2＝4c2，则41a2＝c2，即c＝a，因此，该双曲线的离心率e＝＝.故选B.8．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为()A．±B．±或±C．±D．±答案B解析由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.9．(2018·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为()A.B.C.D.答案B解析依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，＝.10．(2018·宁夏银川第二中学统练)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19答案B解析由题意可知|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此，|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.11．(2018·福建连城二中期中)P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1·PF2＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为()A．2B．3C.D.答案A解析由PF1·PF2＝0，得PF1⊥PF2，设△AF1P的内切圆半径为r，∴|PF1|＋|PA|－|AF1|＝2r，∴|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝2r，...
