第4节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义1,6,8,9,11椭圆的标准方程2,4,7椭圆的几何性质3,4,8,12,13直线与椭圆的位置关系5,10,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(D)(A)4(B)5(C)8(D)10解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=10.故选D.2.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是(C)(A)15(B)3或8(C)3或5(D)20解析:由2c=2得c=1,当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,此时有m-4=1,解得m=5.当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,此时有4-m=1,解得m=3.综上,m=5或3.3.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)-2解析:因为A,B分别为左、右顶点,F1,F2分别为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=.4.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为,则这个椭圆的方程为(C)(A)+=1(B)+=1(C)+=1或+=1(D)以上都不对解析:由题意知解得则b2=a2-c2=9,当焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.5.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是(B)(A)相离(B)相交(C)相切(D)无法判断解析:直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+<1.所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.6.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=.解析:由椭圆的定义可知|F2A|+|F1A|+|F2B|+|F1B|=|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,所以|AB|=20-12=8.答案:87.过点(-3,2)且与+=1有相同焦点的椭圆的方程是.解析:因为c2=9-4=5.设椭圆的方程为+=1.因为点(-3,2)在椭圆上,所以+=1,由a2>5,解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=18.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.解析:由题意可得解得故b2=a2-c2=3.所以椭圆方程为+=1.答案:+=19.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P在椭圆上.(1)若|PF1|=8,求|PF2|;(2)若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.解:(1)由椭圆方程知a=10,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=20.所以|PF2|=20-|PF1|=20-8=12.(2)由a=10,b=8,c=6.设|PF1|=m,|PF2|=n.由椭圆定义得m+n=20.又|F1F2|=2c=12.在△F1PF2中,由余弦定理得,|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2=(m+n)2-2mn（1+cos）即122=202-2mn×,解得mn=,所以=mn·sin∠F1PF2=××=.10.(2015高考安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为（a,b）,又kOM=,从而=.进而得a=b,c==2b,故e==.(2)证明:由N是线段AC的中点知,点N的坐标为（,-）,可得=（,）.又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.能力提升练(时间:15分钟)11.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(0,-2)和C(0,2),顶点B在椭圆+=1上,则的值是(A)(A)(B)2(C)2(D)4解析:由方程得a=2,b=2,c==2.由椭圆定义得|BA|+|BC|=4.由正弦定理得====.12.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则=3(-2≤x0≤2),·=x0(x0+1)+=+x0+=+x0+3=(x0+2)2+2,当x0=2时,·取得最大值为6.13.如图所示,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份;过每个分点作x轴的垂线,交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点,F1是椭圆的一个焦点,则|P1F1|+|P2F1|+…+|P7F1|=.解析:由椭圆的对称性知:|P1F1|=|P7F2|,|P2F1|=|P6F2|,|P3F1|=|P5F2|,且|P4F1|=5,所以|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+…+|P7F1|=(|P7F2|+|P7F1|)+(|P6F2|+|P6F1|)+(|P5F2|+|P5F1|)+|P4F1|=35.答案:3514.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设A、B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若·+·=8,求k的值.解:(1)根据...
