第3节三角函数的图象与性质1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：C[f(x)＝＝＝＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)的周期T＝＝π.故选C.]2．(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B．1C.D.解析：A[由诱导公式得cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，所以函数f(x)的最大值为.故选A.]3．函数f(x)＝1－2sin2是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数解析：B[因为函数y＝1－2sin2＝cos＝sin2x，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.]4．(2019·昆明市一模)若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tanx的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为()A.B.C.D.解析：B[直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tanx的图象无公共点，∴a＝，∴不等式化为tanx≥1，解得kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z；∴所求不等式的解集为{x|kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}．]5．(2019·长春市一模)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是()A．f(φ)＝2B.是f(x)图象的一个对称中心C．∅＝D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴解析：A[函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝2sinφ＝1，∴sinφ＝.又0＜φ＜π，∴φ＝或；当φ＝时，f＝2sin＝2，当φ＝时，f＝2sin＝2，故A正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．解析：由f(x)＝cos＝0，有3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝π＋，由0≤π＋≤π得k可取0,1,2，∴f(x)＝cos在[0，π]上有3个零点．答案：37．函数f(x)＝的定义域为________．解析：要使函数f(x)＝有意义，则＋2cosx≥0即cosx≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx≥－的解集为，所以，在实数集上不等式的解集为，即函数的定义域为.答案：8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f(x)＝1＋asin(ax＋(a＞0))的最大值为3，则f(x)的最小正周期为______．解析：函数f(x)＝1＋asin的最大值为3，∴1＋a＝3，解得a＝2.∴f(x)＝1＋2sin，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f(x)＝2sinxcosx－cos2x＋1(1)求f(2)求f(x)的最大值和最小正周期．解：(1)函数f(x)＝2sinxcosx－cos2x＋1＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，∴f＝sin＋1＝×＋1＝2.(2)由f(x)＝sin＋1，当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为＋1，最小正周期为T＝＝π.10．(2019·泸州市模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋a的最大值为.(1)求a的值；(2)求使f(x)≥0成立的x的集合．解：(1)∵f(x)＝sinxcosx－cos2x＋a＝sin2x－＋a＝sin＋a－，∴f(x)max＝＋a－＝，∴a＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin.由f(x)≥0，得sin≥0，即2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴f(x)≥0成立的x的集合为，k∈Z.
