限时规范训练概率及其应用限时50分钟，实际用时________分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A.B.C.D.解析：选A.事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.2．(2017·山东潍坊模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.B.C.D.解析：选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.B.C.D.解析：选C.如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得＝⇒π＝.故选C.4．(2017·山东威海二模)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为()A.B.C.D.解析：选A.由题意可知m＝(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个， m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.5．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法(如图1)：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧\s\up10(︵)，\s\up10(︵)，\s\up10(︵)，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2)．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为()A.B.C.D.解析：选D.设鲁列斯曲边三角形的宽度为a，则该鲁列斯曲边三角形的面积为3×πa2－2×a2＝，所以所求概率P＝＝，故选D.6．(2017·湖南六校联考)从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.B.C.D.解析：选B.当方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m＞0，n＞0，有(2,3)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·山东泰安三模)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．解析：区间[－2,3]的长度为5，f′(x)＝x2－2ax＋a＋2.函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值等价于f′(x)＝x2－2ax＋a＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又 a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤3，区间范围的长度为2，∴所求概率P＝.答案：8．(2017·山东临沂模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．解析：根据题目条件知所有的数组(a，b)共有62＝36组，而满足条件|a－b|≤1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公...
