§9.2两直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．2．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.[知识拓展]1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(×)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(√)1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.答案－1解析依题意得＝1.解得a＝－1＋或a＝－1－. a>0，∴a＝－1＋.2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为________．答案－7解析l1的斜率为－，纵截距为，l2的斜率为－，纵截距为.又 l1∥l2，由－＝－得，m2＋8m＋7＝0，得m＝－1或－7.m＝－1时，＝＝2，l1与l2重合，故不符合题意；m＝－7时，＝≠＝－4，符合题意．3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________________．答案x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0解析设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝.∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.答案1解析依题意得2×1－2×m＝0，∴m＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维点拨本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．解(1)方法一由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1. l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又 l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在， k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①又 l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.方法二 l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即b＝a2－a.①又 l1过点(－3，－1)．∴－3a＋b＋4＝0.②联立①②可得经验证，符合题意．故a＝2，b＝2.(2) l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.④联立③④，解得或∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的...
