高考数学二轮复习 专项精练 压轴大题突破练（二）直线与圆锥曲线（2）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(，0)，是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P(x0，y0)(x0≠0)是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l：y＝－1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为，求y0的值．解(1)设椭圆标准方程为＋＝1，由题意，得c＝.因为a2－c2＝b2，所以b2＝a2－3.又是椭圆上的一个点，所以＋＝1，解得a2＝4或a2＝(舍去)，从而椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)因为P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.因为M为线段PQ的中点，所以M.又A(0,1)，所以直线AM的方程为y＝x＋1.因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.又B(0，－1)，N为线段BC的中点，则N.所以NM＝.因此，OM·NM＝＋y0·(y0＋1)＝－＋y＋y0＝－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0.从而OM⊥MN.因为|OM|＝＝1，|ON|＝＝＝，所以在Rt△MON中，|MN|＝，因此S△MON＝|OM||MN|＝.从而有＝，解得y0＝.2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．解(1)依题意得解得则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x＋4y＝4，直线PA：y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，则|BM|＝|1－yM|＝yM－1＝－1－.直线PB：y＝x＋1，令y＝0，得xN＝，则|AN|＝|2－xN|＝xN－2＝－2－，∴S△PMN－S△PAB＝|AN|·(|OM|－|OB|)＝|AN|·|BM|＝＝·＝·＝2.3．(2017·山西省实验中学模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，－2)，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为.(1)求椭圆E的离心率和方程；(2)设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为－，求△OAB面积的最大值．解(1)因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，－2)，所以b＝2，由PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为，得×c×＝，所以＝，即离心率e＝.因为a2＝b2＋c2，所以a2－c2＝4，由解得(舍负)，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝－x＋t，与x2＋2y2＝8联立，消去y，整理得x2－tx＋2t2－8＝0，由Δ＝(－t)2－4×(2t2－8)＝－8t2＋36>0，得－|F1F2|，故点P的轨迹即曲线E是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c＝，a＝2，所以b2＝＝1，故曲线E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不为0且存在时，设直线l：x＝ny＋1，代入x2＋4y2－4＝0，得(n2＋4)y2＋2ny－3＝0，Δ＝16(n2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y1＋y2＝，y1y2＝，设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，则由∠ODA＝∠ODB，得k1＋k2＝＋＝＝＝＝0.所以2ny1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，将y1＋y2＝，y1y2＝代入得－6n－2n＋2nt＝0，因此n(t－4)＝0，故存在t＝4满足题意．当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A(－2,0)，B(2，0)，满足∠ODA＝∠ODB，当直线AB的斜率不存在时，取A，B，满足∠ODA＝∠ODB.综上，在x轴上存在一点D(4,0)，使得x轴平分∠ADB.