【与名师对话】2016版高考数学一轮复习2.11导数的概念及运算课时跟踪训练文一、选择题1．(2014·合肥模拟)点P0(x0，y0)是曲线y＝3lnx＋x＋k(k∈R)图象上一个定点，过点P0的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为()A．2B．－2C．－1D．－4解析：y′＝＋1，则＋1＝4得x0＝1，y0＝3，代入y＝3lnx＋x＋k得k＝2.答案：A2．(2015·郑州一测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，∵y′＝x－，∴k＝x0－＝－，∴x0＝2.答案：B3．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B.C．1D.解析：由题意得f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝e0＝1，故切线的倾斜角为.故选B.答案：B4．(2015·西安期中检测)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()A．x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0，或4x＋5y＋1＝0解析：设切点坐标为(x0，y0)，y0＝x－2x0，则曲线在(x0，y0)处的切线斜率为y′＝3x－2，当x0＝1时斜率为1，切线方程为x－y－2＝0，当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x－1＝3x－2，解得x0＝－，其斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0，所以A正确．答案：A5．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝()A．2B．－2C.D．－解析：因为y＝的导数为y′＝，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·－＝－1，解得a＝－2，选B.答案：B6．(2015·宁夏育才中学月考)点P是曲线y＝x2－lnx上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.C.D.解析：由y＝x2－lnx，得y′＝2x－，令y′＝1，则x＝1，故函数y＝x2－lnx斜率为1的切线的切点横坐标x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为：x－y＝0.其与y＝x－2的两平行线间的距离d＝＝为所求．1答案：D二、填空题7．(2015·湖北黄冈三月)已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f的值为________．解析：因为f′(x)＝f′cosx－sinx，所以f′＝f′cos－sin，所以f′＝－(2＋)．所以f(x)＝－(2＋)sinx＋cosx.f＝－(2＋)×＋＝－1.答案：－18．在曲线y＝上求一点P，使曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为__________．解析：∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，令－8x－3＝－1，则x＝2，代入y＝得y＝1，∴P点坐标为(2,1)．答案：(2,1)9．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋6x－9都相切，则a＝__________.解析：设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.当x0＝0时，过点(1,0)的直线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋6x－9相切可得a＝－1；当x0＝时，过点(1,0)的直线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋6x－9相切可得a＝－.故a＝－或a＝－1.答案：－或－1三、解答题10．(2015·山西四校联考)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过，斜率k＝－1，∴切线方程为x＋y－＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，∴α∈∪.11．分别在曲线y＝ex与直线y＝ex－1上各取一点M与N，求|MN|的最小值．解：由y＝ex，得y′＝ex.由ex＝e，得x＝1，所以点(1，e)处切线与直线y＝ex－1平行．故|MN|的最小值即为点(1，e)与直线ex－y－1＝0的距离，d＝＝即为所求．12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.2当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.3
