专题04导数及其应用1．曲线f(x)＝xlnx在点(e，f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为()A．y＝ex－2B．y＝2x＋eC．y＝ex＋2D．y＝2x－e【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为f(x)＝xlnx，故f′(x)＝lnx＋1，故切线的斜率k＝f′(e)＝2，因为f(e)＝e，故切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e，故选D.2．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．00.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D符合题意，故选D.8．已知曲线C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1＋1也相切，则t的值为()A．4e2B．4eC.D.【答案】A9．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．1＜a≤2B．a≥4C．a≤2D．0＜a≤3【答案】A【解析】易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1＜a≤2，选A.10．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是()A．2B．1C．0D．－1【答案】C11．已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．【答案】1－e【解析】先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.12．对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列在前n项和等于________．【答案】【解析】 y＝(2－x)xn，∴y′＝－xn＋n(2－x)xn－1，∴y′|x＝3＝－3n－n·3n－1＝－3n－1(n＋3)，∴切线方程为y＋3n＝－3n－1(n＋3)(x－3)，令x＝0，得切线与y轴交点的纵坐标为an＝(n＋2)·3n，所以＝3n，则数列的前n项和为＝.13．已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．又 y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，∴2a≥，即a≥.14．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性．调递增．15．已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．(1)若f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)当a∈时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，即a≥－恒成立，记g(x)＝－，则g′(x)＝－＝...
