高考数学 解题“灵魂变奏曲”VIP专享VIP免费

数学解题的“灵魂变奏曲”把问题进行转化是解决问题的重要的方法，著名数学家、教育家G•波利亚在《怎样解题》一书中说道：“不断地变换你的问题，……，我们必须一再地变换它，重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到有用的东西为止”．我们在解决数学问题时，常把复杂、生疏、抽象、困难、未知的问题变成简单、熟悉、具体、容易、已知的问题来解决．这是一种思想方法，也是一种策略。它把一个数学问题转化为另一个数学问题，达到化生为熟，化繁为简的目的，不仅可以节省时间和精力，巧妙简捷地解题，还可以提高我们的思维水平，培养创新能力，及分析问题和解决问题的能力。下面例析问题转换几种基本途径及方法．一、等与不等的转化等与不等的转化主要体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异间的内在联系。等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。例1：若正数满足，则的取值范围是______________【解法一】为正数，，（舍去）或的取值范围为．【解法二】由得，且当且仅当，即时取等号则的范围为【点评】：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的一个重要方法。巩固练习题：已知x，y同为非负数，且满足，求x，y的值。【例1】已知a，b，c均为正整数，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求的值.【解答】因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价，这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故【点评】将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.二、正与反的转化解决某些问题时，若按习惯从“正面进攻”难已解决或运算繁杂。此时可从相反的方向去探求，有可能会转化为我们较熟悉或简单的问题。2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。1当一个数学问题从正面处理较难时，不妨从反面思考，如逆推法、分析法、反证法、补集法等都是重要的反面思维方法．例2已知抛物线y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交,求实数a的取值范围.分析：此题先从正面入手,要对各种可能性逐一分析,相当繁琐.若逆向思维求其反面：求三条抛物线都不与x轴相交时a的取值范围.再求其补集,则简洁得多.解：先求结论的反面，都无交点，即，解得－＜a＜－1．故所求a的取值范围是a≤－或a≥－1．例2：（2005年高考全国卷）在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的共有__________个。【分析】：以前我们做过能被5整除的排列组合题，先按照以前做过的方法求出能被5整除的数的个数，再求出所有的四位数的个数，就能求出符合条件的数的个数。解：有0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的所有四位数共有个，其中能被5整除的，即个位数为0，5的数有个，所以不能被5整除的数有600—216=384个。【点评】此题从正面入手也行，但把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，做起来更加得心应手。另外，在考试时用正反两种方法，可以提高准确率。巩固练习题：若曲线的所有弦都不能被直线垂直平分，求变量m的取值范围。例2试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称问题转化为“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围”．再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．解：抛物线上两点(x1，)、(x2，)关于直线y＝m(x－3)对称，满足，即，消去x2，得．2 x1∈R，∴△＝＞0，∴(2m＋1)(6m2－2m＋1)＜0，∴m＜－．即当m＜－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．而原题要求所有弦都不能被直线垂直一部分，那么所求m的范围为m≥－．很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问...