第6讲空间向量及其运算1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：选B.由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．所以AB∥CD.3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A.B．9C.D.解析：选D.由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组解得x＝，y＝，所以λ＝－＝.4．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B.如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.5.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1，1，1)B.C.D．(1，1，2)解析：选A.设P(0，0，z)，依题意知A(2，0，0)，B(2，2，0)，则E，于是DP＝(0，0，z)，AE＝，cos〈DP，AE〉＝＝＝.解得z＝±2，由题图知z＝2，故E(1，1，1)．6．(2016·唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.a1C.aD.a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且AM＝MC1，所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，所以x＝a，y＝，z＝.所以M，所以|MN|＝＝a.7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________．解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．答案：(0，，)8．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________．解析：由题意知AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4，3，－6)．又AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，可得x＝2.答案：29．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°.答案：60°10．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a、b、c表示向量MN＝________．解析：如图所示，MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c－a)．答案：(b＋c－a)11．(2016·郑州模拟)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．(2)a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝＝－.故a＋c与b＋c所成角的余弦值为－.12.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.2解：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2)因为N是BC的中点，所以A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a.所以MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝...
